Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti

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Integrazione per scomposizione[modifica]

Si usa quando si deve integrare un rapporto di polinomi, cioè una funzione . L'obiettivo è trasformare la frazione in una somma di frazioni tali da essere risolvibili elementarmente.

Grado minore di quello di [modifica]

Si ha un integrale tipo .

  1. Trovare le radici del denominatore (che sono 2 e 4) ed esprimerlo come ;
  2. , cioè una somma di integrali elementari con e costanti opportune da trovare;
  3. Calcolare e , come da esempio: , poi raccogliendo in questo modo: ;
  4. Siccome il coefficiente di è 3, allora , mentre il termine noto è , di conseguenza . Allora, per trovare le due costanti, risolvere il seguente sistema: , che ha soluzioni .
  5. Risolvere infine l'integrale equivalente , risolvibile elementarmente[1] e pari a . [2]

Grado maggiore di quello di [modifica]

Risolvere .

  1. L'obiettivo è rappresentare la frazione nella forma , dove è un semplice integrale di un polinomio, e la seconda frazione è riconducibile è una frazione con numeratore di grado inferiore rispetto al denominatore.
  2. Facciamo la divisione tra polinomi per trovare , ottenendo e . L'integrale diventa dunque .
  3. Il primo integrale è elementare. Il secondo è della forma , dunque la soluzione è
  4. Risolviamo anche il primo integrale

Integrazione per sostituzione[modifica]

Si usa per risolvere integrali della forma

  1. Porre e differenziare entrambi i membri, ricavando e poi differenziando ambo i membri ;
  2. riscrivere l'integrale come , sperando che sia più facile da risolvere rispetto a quello di partenza;
  3. trovata la soluzione, riscrivere tutto in funzione di .

Integrazione per parti[modifica]

Per risolvere integrali della forma si può ricorrere alla formula di integrazione per parti

dove è tra le due la funzione più facile da integrare e che integrata non risulta una funzione ancora più difficile di quella di partenza, mentre è tra le due quella facile da derivare che consente di ottenere una funzione più facile da derivare rispetto a quella di partenza.

  1. E' della forma .
  2. Si noti che per il secondo addendo non sarebbe necessario il valore assoluto poiché , che ha ovviamente argomento sempre positivo.