Geometria per scuola elementare/Costruzione di un triangolo

Geometria per scuola elementare
Copia di un segmento	Costruzione di un triangolo	Perché le costruzioni non sono corrette?

Introduzione

In questo capitolo, mostreremo come costruire un triangolo partendo da tre segmenti. La costruzione si ispira a Book I, proposition 22

Costruzione

Dati tre segmenti ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {EF}}$ costruiamo un triangolo con i lati uguali ai tre segmenti.

1. Copia la linea ${\overline {CD}}$ sul punto A.
   Se hai dimenticato come si fa, puoi seguire le istruzioni del capitolo precedente. Il risultato dovrebbe assomigliare alle linee grigie del disegno qui sotto. La nuova linea la chiameremo ${\overline {AG}}$
   Una buona idea è quella di cancellare tutte le linee che ti sono servite per la costruzione, lasciando solo i quattro segmenti mostrati qui.
2. Ora copia la linea ${\overline {EF}}$ sul punto B
   Ancora una volta il risultato assomiglierà alle linee grigie del disegno. La nuova linea la chiameremo ${\overline {BH}}$
   
3. Disegna il cerchio $\circ A,{\overline {AG}}$, con centro in A e raggio ${\overline {AG}}$.
4. Disegna il cerchio $\circ B,{\overline {BH}}$, con centro in B e raggio ${\overline {BH}}$.
5. Chiamiamo J uno dei punti di intersezione di $\circ A,{\overline {AG}}$ e $\circ B,{\overline {BH}}$.
   
6. Traccia una linea ${\overline {AJ}}$.
7. Disegna una linea ${\overline {BJ}}$.
   

Affermazione

I lati del triangolo $\triangle ABJ$ sono uguali a ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {EF}}$.

Dimostrazione

1. Il segmento ${\overline {AB}}$ è uno dei lati del triangolo ed è uguale a se stesso.
2. Il segmento ${\overline {AJ}}$ è uguale a ${\overline {AG}}$ perché entrambi sono raggi del cerchio $\circ A,{\overline {AG}}$. E, siccome era stato copiato, ${\overline {AG}}$=${\overline {CD}}$. Quindi ${\overline {AJ}}$ è anche uguale a ${\overline {CD}}$
3. Il segmento ${\overline {BJ}}$ è uguale a ${\overline {BH}}$ perché entrambi sono raggi del cerchio $\circ B,{\overline {BH}}$. E, siccome era stato copiato,

${\overline {BH}}$=${\overline {EF}}$. Quindi ${\overline {BJ}}$ è anche uguale a ${\overline {EF}}$

1. Per cui il lati del triangolo $\triangle ABJ$ sono ugualia a ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {EF}}$.

Mettiamo alla prova la procedura

1. Disegna una linea ${\overline {AB}}$ lunga a piacere.
2. Copia la linea ${\overline {AB}}$ su un qualsiasi altro punto C ottenendo ${\overline {CD}}$.
3. Disegna una linea ${\overline {EF}}$ che sia tre volte la lunghezza di ${\overline {AB}}$ (non abbiamo spiegato come fare una cosa simile, così lo diamo come esercizio da svolgere: usa il capitolo Copia di un segmento come guida per trovare la soluzione).
4. Costruisci un triangolo con ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {EF}}$.

Perché in questo caso non riusciamo a costruire il triangolo?

Il motivo per cui non riusciamo a costruire il triangolo è dovuto al fatto che i cerchi che abbiamo costruito non si intersecano. Non si possono usare tre segmenti qualsiasi e sperare che ne venga fuori un triangolo. La lunghezza dei tre segmenti deve per forza obbedire a una condizione chiamata "Disuguaglianza triangolare".

Disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare stabilisce che uno qualsiasi dei tre segmenti deve essere più corto della somma degli altri due. Se invece uno dei segmenti è più lungo i cerchi non si intersecano. Se uno dei segmenti è uguale alla somma degli altri due, invece di un triangolo, otterremo una linea.

Quindi, la costruzione è corretta ma va applicata a segmenti che rispettano la condizione della disuguaglianza triangolare.

Notare che la costruzione originale di Euclide si applicava a segmenti che rispettavano la condizione, per cui nella sua dimostrazione non vi era alcun errore.