Geometrie non euclidee/La geometria di Riemann

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Dopo Lobacevskij, altri grandi matematici diedero contributi fondamentali alla costruzione di sistemi geometrici alternativi a quello euclideo. È già stato osservato che l'unica negazione del V postulato coerente con il resto del sistema euclideo è relativa all'unicità della parallela; infatti era nota la contraddittorietà dell'ipotesi dell'ottuso, cioè l'ipotesi che nega l'esistenza della parallela. Restava comunque in sospeso la possibilità (modificando qualcos'altro oltre al V postulato) di costruire geometrie (non-euclidee) in cui si negasse l'esistenza della parallela; o addirittura sistemi geometrici ancora più generali. Un importante contributo alla chiarificazione e soluzione di questi temi venne dato da Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Nella geometria euclidea, così come in quella di Lobacevskij, si implica, seppur tacitamente, che la retta è infinita, ma con Riemann si apre una nuova via di intendere i concetti fondamentali. Egli infatti fu il primo a introdurre una distinzione tra illimitatezza e infinità; tale distinzione gli derivava dal considerare in geometria sia le proprietà di "estensione" sia le proprietà "metriche" e affermava che l'illimitatezza dello spazio possiede una maggiore certezza empirica di ogni altra esperienza esterna, ma che da questo non consegue necessariamente l'infinità; anzi, basterebbe che lo spazio avesse una curvatura costante positiva, seppur minima, ed esso sarebbe certamente finito.

Riemann abbandona quindi la tradizionale concezione euclidea dello spazio inteso soprattutto in senso sintetico (strettamente geometrico) e lo integra con visione più analitica (più rivolta verso il calcolo). Nella teoria di Riemann è di fondamentale importanza il concetto di varietà n-dimensionale, che porta ad una generalizzazione del piano e dello spazio cartesiano (concetto che qui però non tratteremo in maniera approfondita, data la sua complessità).

Per meglio spiegare la sua teoria, Riemann utilizza come modello una superficie curva, da cui nasce l'esigenza di introdurre un valore di curvatura dello spazio. Secondo tale valore si possono distinguere tre varietà a curvatura costante:

  1. varietà a curvatura negativa (geometria di Lobacevskij o iperbolica)
  2. varietà a curvatura nulla (geometria di Euclide)
  3. varietà a curvatura positiva (geometria di Riemann o ellittica).

L'ultimo caso è quello di cui si occupa Riemann, ed è fondato essenzialmente sull'ipotesi che la retta sia chiusa e finita. Il modello che Riemann propone è il seguente:

  • il piano è costituito da una superficie chiusa (per comodità, potremmo pensare ad una superficie sferica)
  • i punti sono i punti su di essa
  • le rette per due punti sono i cerchi massimi passanti per essi.

È evidente che in questo modello non esistono rette parallele.

Gne7.jpg

In tale contesto Riemann definisce la linea di minima distanza tra due punti la geodetica, cioè l'arco minore di circonferenza che passa per i due punti ed ha il centro nel centro della sfera.

Si può dimostrare che:

  • la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di una angolo piatto
  • non esistono triangoli simili, salvo quando sono anche congruenti
  • tutte le perpendicolari ad una "retta" passano per una medesima coppia di punti, che sono diametralmente opposti.
Gne8.jpg

Non è più valida l'unicità della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un punto (la "retta" che passa per A e per B ha come perpendicolari sia la retta AC che la retta BC, entrambe passanti per C). Inoltre, pensando di aumentare la lunghezza dell'arco AB e mantenendo fisso il vertice C, si possono ottenere triangoli in cui la somma degli angoli interni può arrivare fino a 540°.