Geometrie non euclidee/Modelli per la geometria di Lobacevskij

Ci sono alcuni validi modelli che descrivono la geometria di Lobacevskij: i modelli di Klein, di Poincaré e di Beltrami.

Il modello di Klein

Iniziamo dal modello di Klein: esso è costruito pensando

• ai punti come i punti interni ad una conica (per esempio una circonferenza)
• alle rette come le congiungenti due punti interni alla conica
• al piano formato dai punti interni alla conica.

Si può facilmente verificare che sono rispettati in questo modello sia gli assiomi di incidenza, sia quelli di ordinamento, sia quelli di continuità.

È invece meno semplice verificare gli assiomi della congruenza, perché per parlare di congruenza è indispensabile parlare di distanza tra punti, e tutto è complicato dal fatto di non poter parlare di segmenti la cui lunghezza supera quella del diametro della circonferenza che abbiamo preso in esame. Klein diede allora una definizione di distanza tra due punti in questo modo:

$d(A;B)=\left|ln{\frac {AP}{AQ}}\cdot {\frac {BQ}{BP}}\right|$

dove con A e B indichiamo due punti del "nostro piano" e con P e Q gli estremi della corda passante per A e per B (con AP < AQ).

Le caratteristiche di questa definizione sono le seguenti:

• la distanza $d(A;B)$ tra due punti è sempre non negativa
• la distanza $d(A;A)=|ln1|=0$ se A è un punto fisso e B varia sulla "retta" avvicinandosi alla frontiera $d(A;B)=y$

Utilizzando questa definizione di distanza tra due punti, le "rette" risultano avere lunghezza infinita. In tale modello non è verificato l'assioma delle parallele: si consideri infatti la "retta" AB e il punto C esterno ad essa; si può verificare immediatamente che vi sono infinite "rette" che non intersecano la retta data e tali "rette" sono separate da quelle che invece incontrano la "retta" AB da due particolari "rette" che vengono definite parallele ad AB passanti per C.

Il modello di Poincaré

Un altro modello della geometria di Lobacevskij è quello di Poincaré. Il modello di Poincaré è costruito pensando:

• i punti come i punti interni ad una circonferenza C
• le rette sono gli archi di circonferenza perpendicolari nei loro estremi alla circonferenza C (nei punti di intersezione le tangenti alle due circonferenze, la C e quella cui appartiene l'arco, hanno tangenti fra loro perpendicolari)
• il piano formato dai punti interni alla circonferenza.

Come si può osservare, in questa situazione le proprietà delle "nuove rette" differiscono da quelle della geometria euclidea, e in particolare non vale più il postulato delle parallele. Questi nuovi enti si comportano esattamente come quelli del modello di Klein, ma con questa sottile distinzione: nel modello di Klein le rette sono le rette euclidee, nel modello di Poincaré le rette non sono le rette euclidee, ma sono archi di circonferenza euclidei e quindi, sotto questo aspetto, in questo modello si può applicare la geometria euclidea.

Il modello di Beltrami

Il terzo modello è quello di Beltrami, che risulta essere particolarmente importante perché è stato il primo modello proposto per le geometrie non euclidee, ed ha avuto il pregio di convincere gli studiosi della validità di tali studi.

La curva fondamentale è la trattrice, definita come il luogo dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno lunghezza costante; tale retta risulta essere asintoto per la curva.

Si consideri adesso la superficie ottenuta ruotando la curva così costruita attorno al suo asintoto (si ottiene la pseudosfera).

I punti sono i punti che stanno sulla superficie della pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la geodetica, cioè la linea di minima distanza congiungente i due punti; si può ben osservare che per un punto esterno ad una retta passano più rette che non la incontrano.