Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su algebra delle proposizioni

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In questo primo esempio utilizzeremo le regole di manipolazione algebrica per ridurre la regola di contrapposizione a Vero, dimostrando che si tratta di una tautologia manipolando i simboli e non applicando in modo esaustivo tutte le possibili interpretazioni della variabili atomiche come abbiamo fatto finora con il metodo delle tabelle di verità.


1 espressione della regola di contrapposizione
2 trasformata l' implicazione centrale in disgiunzione
3 trasformate le due implicazioni in disgiunzioni
4 applicata deMorgan alla prima subformula
5 eliminate le doppie negazioni
6 distribuita la prima disgiunzione
7 sostituita la disgiunzione di B e -B con T
8 elimitata la congiunzione con T
9 riordinata e associata A con -A
10 semplificata la disgiunzione tra A e -A
11 È una tautologia!


Questo modo di operare sta anticipando quello che vedremo nella prossime sezioni: come dimostrare che una proposizione è vera o soddisfacibile per via sintattica e non semantica.

L'euristica che ci ha guidato nella trasformazione è stata quella di trasformare la sentenza in una serie di disgiunzioni tra congiunzioni. Questa configurazione prende il nome di forma normale disgiunta.

Forma normale disgiunta:

È molto semplice verificare il valore di verità di una sentenza in forma normale disgiunta: la prima disgiunzione vera rende vera tutta la frase, quindi possiamo terminare l'analisi; le congiunzioni sono ugualmente di facile valutazione, devono avere tutte le loro componenti vere e falliscono se contengono una frase e la sua negazione.

Voci correlate[modifica]