Misura e integrale di Lebesgue/Elementi fondamentali, misura di Lebesgue

Prima di poter parlare di integrale, misure e lavorare con questi strumenti, abbiamo bisogno di costruire una teoria della misura che possa essere ritenuta tale. In questo modulo daremo tante definizioni e inizieremo a parlare di misure di insiemi, discutendo ogni punto per renderlo il più chiaro possibile. Iniziamo da una definizione che non è una definizione (attenzione a questo punto, non è davvero una definizione).

Definizione

In questo corso parleremo di misura; per quanto ci riguarda, necessitiamo di poter operare con l'infinito, quindi chiameremo retta estesa quella in cui $+\infty$ è considerato al pari di un numero. Questo vuol dire che:

• una funzione può assumere valore $+\infty$ in qualche suo punto, non solo tenderci;
• degli insiemi possono avere misura infinita;
• è corretto scrivere un intervallo (per esempio la semiretta positiva) come $[0,+\infty ]$.

Il termine $\infty$ ha delle belle proprietà; la prima è che questo è maggiore di ogni altro numero reale scrivibile in altra forma diversa da $\infty$. Le operazione con l'infinito sono le seguenti:

• $a+\infty =\infty$
• $\infty -b=\infty$
• $-a\cdot \infty =-\infty$
• ${\frac {\infty }{a}}=\infty$
• ${\frac {a}{\infty }}=0$
• ${\frac {\infty }{-b}}=-\infty$
• $0\cdot \infty =0$

Poniamo attenzione all'ultima espressione. $0\cdot \infty =0$ resta non vero quando si parla di cose che tendono 0 o $\infty$, ovvero nelle espressioni di limite è ancora una forma indeterminata. Questa espressione è quindi vera quando i valori 0 e $\infty$ sono fissati e valgono esattamente quello che valgono, non tendono a quel valore.

Già con la prima definizione abbia fatto terra bruciata dietro di noi: non dobbiamo dimenticare tutto ciò che abbiamo imparato finora, ma qualcosa deve pur cambiare. Questo non rientrava tra gli elementi utili alla misura, o meglio, non subito; iniziamo con gli iperrettangoli.

Definizione

Chiameremo iperrettangolo un insieme del tipo:

$I=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

Un iperrettangolo non è altro che la moltiplicazione di intervalli; in dimensione uno, ovvero in $\mathbb {R}$, questo è semplicemente un intervallo; in $\mathbb {R} ^{2}$ sarà un rettangolo, in ${\mathbb {R} }^{3}$ un parallelepipedo e così via. La misura dell'intervallo $[a_{1},b_{i}]$è ovviamente $|b_{i}-a_{i}|$.

Definizione

Si definisce plurirettangolo l'unione di più rettangoli disgiunti:

$Y=\bigcup _{i=1}^{n}I_{i}\quad {\mbox{con }}I_{i}\cap I_{j}=\varnothing \;{\mbox{ se }}i\neq j$

Su questo non c'è da discutere molto: presi tanti iperrettangoli, la loro unione è chiamata plurirettangolo. Poiché la misura di un rettangolo la conosciamo (base per altezza), possiamo definire la misura dell'iperrettangolo.

Definizione

Si definisce la misura dell'iperrettangolo:

$m(I)=\prod _{I=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$

Così come il rettangolo e il parallelepipedo si misurano moltiplicando le dimensioni, nel caso generale di un iperrettangolo la regola non varia. Siamo adesso pronti per iniziare a definire quelli che, secondo la teoria di Lebesgue, sono insiemi misurabili. Da adesso in poi, tranne dove specificato, per misura intenderemo sempre misura secondo Lebesgue.

Definizione

Siano $A$ un insieme aperto e $K$ un compatto, con $A,K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Si definiscono le misure dei due tipi di insieme:

${\begin{aligned}&m(A)=\sup\{m(Y):\,Y{\mbox{ plurirettangolo}},Y\subseteq A\}\\&m(K)=\inf\{m(Y):\,Y{\mbox{ plurirettangolo}},Y\supseteq K\}\end{aligned}}$

Questo ci inizia a dire qualcosa di importante: tutti gli insiemi aperti e compatti sono misurabili secondo Lebesgue, e la loro misura si approssima con quella del plurirettangolo contenuto nell'aperto o che contiene il compatto. Notiamo come la misura di un aperto può essere $m(A)=+\infty$, mentre quella di un compatto può essere $m(K)=0$. Ora definiamo la misura interna ed esterna di un insieme, a partire proprio da questo.

Definizione

Dato $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, si definiscono misura interna e esterna di $E$ secondo Lebesgue:

${\begin{aligned}&{\overline {m}}(E)=\inf\{m(A),\,A{\mbox{ aperto}},A\supseteq E\}\\&{\underline {m}}(E)=\sup\{m(K),\,K{\mbox{ compatto}},K\subseteq E\}\end{aligned}}$

Osserviamo immediatamente che $\forall E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vale ${\underline {m}}(E)\leq {\overline {m}}(E)$. Ora, detto questo, possiamo finalmente parlare di insiemi misurabili. Date le misure interna ed esterna di un insieme, è logico pensare che, quando queste coincidono, abbiamo a che fare esattamente con la misura di quell'insieme, più o meno come l'area delle partizioni inferiori e superiori per Riemann.

Definizione

Un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ si dice misurabile secondo Lebesgue se la sua misura interna coincide con l'esterna, ovvero:

$m(E)={\overline {m}}(E)={\underline {m}}(E)$

A volte, indicheremo con $m_{n}(E)$ la misura n-dimensionale di Lebesgue.

A proposito di insiemi misurabili, resta comodo sapere come e quando riconoscere un insieme misurabile da uno non misurabile. Il seguente teorema ci assicura la "misurabilità" di un insieme; non ne forniremo una dimostrazione.

Teorema

Un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ è misurabile se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esistono $A_{\varepsilon },K_{\varepsilon }$ aperto e compatto tali che:

$|m(A_{\varepsilon })-m(K_{\varepsilon })|<\varepsilon$

Ovvero un insieme sarà misurabile se esisteranno un aperto e un compatto tali che la differenza tra le loro misure è arbitrariamente piccola, ovvero coincide. Abbiamo appena dato una rigorosa definizione di misura, ora non resta che vederne le proprietà.