Misura e integrale di Lebesgue/Spazio delle funzioni sommabili a potenza 2

In questo modulo consideriamo nota la norma del sup essenziale definita come:

$\|f(x)-g(x)\|_{\infty }=\max _{x\in K}|f(x)-g(x)|_{n}$

dove le funzioni $f(x),g(x)$ sono due funzioni continue definite su un compatto $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$; il modulo $|\cdot |_{n}$ è il modulo in ${\mathbb {R} }^{n}$

Iniziamo partendo da una proprietà nascosta degli integrali, ovvero che non è ne immediata, ne facilmente individuabile. Consideriamo una successione di funzioni $f_{n}(x)=x^{n}$, con $x\in [0,1]$ e $n\in \mathbb {N}$. Abbiamo che:

$f_{n}(x)\underbrace {\to } _{n\to \infty }f_{\infty }(x)={\begin{cases}&0\quad x\in [0,1)\\&1\quad x=1\end{cases}}$

Questo vuol dire che $f_{n}\not \to f_{\infty }$ nello spazio delle funzioni continue $C^{0}[0,1]$, ovvero che la successione di funzioni continue tende a una funzione che non è continua. Tuttavia, gli integrali hanno uno strano comportamento in questo caso. Il teorema seguente rientra nella teoria di Riemann per l'integrazione; poiché la teoria di Lebesgue è una generalizzazione, vale anche per l'integrale di Lebesgue.

Teorema

Se $f_{n}\to f_{0}$ nello spazio $C^{0}[0,1]$, ovvero vale $\|f_{n}-f_{0}\|_{\infty }\to 0$, allora:

$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx=\int _{0}^{1}f_{o}(x)dx$

Ovvero l'integrale è un'applicazione continua sullo spazio delle funzioni continue.

Dimostrazione

Quello che ci stiamo chiedendo è se è vera la tesi:

$\int _{0}^{1}{\big (}f_{n}(x)-f_{0}(x){\big )}dx\to 0$

Facciamo delle maggiorazioni:

$\int _{0}^{1}|f_{n}(x)-f_{0}(x)|dx\to 0\geq \left|\int _{0}^{1}{\big (}f_{n}(x)-f_{0}(x){\big )}dx\right|\geq 0$

Ma il maggiore di questi termini:

$\int _{0}^{1}|f_{n}(x)-f_{0}(x)|dx\to 0\leq \int _{0}^{1}\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{0}(x)|dx=\|f_{n}-f_{0}\|_{\infty }\int _{0}^{1}dx\leq \|f_{n}(x)-f_{0}(x)\|_{\infty }\to 0$

Quindi è vera la tesi.

Iniziamo ora a parlare dello spazio $C^{0}[0,1]$ ovvero dell'insieme delle funzioni continue nell'intervallo $[0,1]$ . Su questo spazio possiamo dire un paio di cose:

• è uno spazio vettoriale, è valida la linearità, la somma di due funzioni continue resta una funzione continua, esiste l'elemento neutro (che è lo 0) ed esiste l'inverso di ogni funzioni continua tale che $f(x)\cdot f^{-1}(x)=1$;
• si può definire una norma, e scegliamo proprio la norma del sup essenziale presentata a inizio modulo.

Ci possiamo chiedere qual è la dimensione di questo spazio; si dimostra che esistono infinite funzioni continue linearmente indipendenti, e quindi la dimensione è proprio $dim{\big (}C^{0}[0,1]{\big )}=+\infty$.

Dette queste poche cose sullo spazio $C^{0}[0,1]$, si può dimostrare il seguente teorema.

Teorema

L'insieme ${\big (}C^{0},\|\cdot \|_{\infty }{\big )}$ è uno spazio di Banach (ovvero uno spazio metrico completo).

In realtà, vorremmo avere uno spazio di Hilbert, ovvero uno spazio di Banach con una norma generata da un prodotto scalare, perché con un prodotto scalare si possono fare tante cose. Ci chiediamo: è lo spazio ${\big (}C^{0},\|\cdot \|_{\infty }{\big )}$ uno spazio di Hilbert?

Affinché sia uno spazio di Hilbert, la norma utilizzata deve essere generata da un prodotto scalare, quindi deve rispettare l'identità del parallelogramma. Presi due generici vettori appartenenti allo spazio, deve valere:

$\|{\underline {u}}+{\underline {w}}\|^{2}+\|{\underline {u}}-{\underline {w}}\|^{2}=2(\|{\underline {u}}\|^{2}+\|{\underline {w}}\|^{2}$

Prendiamo due funzioni continue dello spazio, per semplicità di cose prendiamo 1 e $x$. La norma del sup essenziale $\|1+x\|_{\infty }$ nell'intervallo $[0,1]$ vale 2 (perché al punto $x=1<math>sihache<math>x$ vale proprio 1, e $1+1=2$, giusto per dire due volte la stessa cosa; $1+1=2$ a meno che non siamo in base 2, ma per fortuna non vogliamo farci male); la norma $\|1-x\|_{\infty }$ vale invece 1, i calcoli li lasciamo a voi. Si ha che:

${\begin{aligned}&\|1+x\|_{\infty }^{2}+\|1-x\|_{\infty }^{2}=2(\|1\|_{\infty }^{2}+\|x\|_{\infty }^{2})\\&4+1=2\cdot (1+1)\Rightarrow \,5=4\end{aligned}}$

A meno che non abbiamo sbagliato matematica, $5\neq 4$, quindi ${\big (}C^{0}[0,1],\|\cdot \|_{\infty }{\big )}$ non è uno spazio di Hilbert.

Dobbiamo allora cambiare norma, e sceglierne un'altra, magari stavolta che provenga da un prodotto scalare. Scegliamo la norma p-esima, anche detta norma $L^{p}$, la norma:

$\|f\|_{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}dx$

Nel nostro caso non consideriamo numeri strani, potremmo anche prendere la norma $\|f\|_{7}$ per divertimento, ma non otterremmo ciò che cerchiamo. Per questo, prendiamo la norma $L^{2}$ definita come:

$L^{2}(f)=\|f(x)\|_{2}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}dx$

Questa norma ha belle proprietà: è bilineare, vale l'identità del parallelogramma, quindi è generata da un prodotto scalare, vale anche la disuguaglianza triangolare, e inoltre, se $\|f(x)\|=\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}dx=0$, deve necessariamente essere $f(x)=0$. Dimostreremo questo e non il resto.

Dobbiamo verificare che:

$\int _{0}^{1}|u(x)|^{2}dx=0\quad {\mbox{ se e solo se }}u(x)=0$}}

Procediamo per assurdo; supponiamo che $u(x)$ non sia identicamente nulla in tutto l'intervallo, ma che esiste un punto in cui assume valore positivo, ovvero:

$\exists \,p\in [0,1]\quad u(p)=\delta >0$

Poiché ci muoviamo nello spazio delle funzioni continue, per il teorema della permanenza del segno deve esserci tutto un intorno del punto $p$ del tipo $I=(p-\varepsilon ;p+\varepsilon )$ in cui vale, ad esempio:

$u(x)\geq {\frac {1}{2}}\delta \quad \forall \,x\in I$

Ne consegue che:

$\int _{0}^{1}u^{2}(x)dx\geq \int _{p-\varepsilon }^{p+\varepsilon }{\frac {1}{2}}\delta dx={\frac {1}{2}}\delta \cdot 2\varepsilon =\delta \varepsilon >0$

Ciò nega l'ipotesi, quindi è vera la tesi.

Tuttavia, questa norma ha un comportamento strano nello spazio $C^{0}[0,1]$. Consideriamo la successione di funzioni:

$f_{n}(x)={\begin{cases}&0\quad x\in \left[0,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}\right]\\&n\left(x-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}\right)\right)\quad x\in \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\\&1\quad x\in \left[{\frac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

In un grafico la funzione considerata assume valore nullo fino a ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}$, poi cresce linearmente fino ad assumere il valore 1 da ${\frac {1}{2}}$ a 1.

Al crescere di $n$ questa funzione tende a:

$f_{n}(x)\to \left\{{\begin{aligned}&0\quad x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right)\\&1\quad x\in \left[{\frac {1}{2}},1\right]\end{aligned}}\right\}=f_{\infty }(x)$

La funzione $f_{\infty }(x)$ è uscita fuori dallo spazio $C^{0}[0,1]$.

La funzione $f_{n}(x)$ non è quindi una successione di Cauchy rispetto alla norma del sup, infatti $\|f_{n}-f_{\infty }\|_{\infty }\not \to 0$. Se invece provassimo con la norma $L^{2}$:

$\int _{0}^{1}|f_{(}x)-f_{\infty }(x)|^{2}dx\leq \underbrace {\frac {1}{2n}} _{\begin{aligned}area\ &del\ triangolo\\&evidenziato\end{aligned}}$

Rispetto a questa norma, quindi, la successione è di Cauchy. Tuttavia siamo sempre usciti dallo spazio delle funzioni continue, ma basta creare lo spazio:

$L^{2}(0,1)=\left\{f:[0,1]\to \mathbb {R} :\ \int _{0}^{1}|f(x)|^{2}dx<+\infty \right\}$

Questo spazio, generalmente indicato con $L^{p}$ (l'indice $p$ indica la potenza utilizzata, che nomina la norma), si chiama spazio delle funzioni sommabili. Questo contiene tutte le funzioni continue e non solo. Ad esempio, ci chiediamo se la funzione di Dirichlet vi appartenga. Sappiamo che il suo integrale vale 0 $0$, ma la funzione non è identicamente 0 $0$, quindi da un poco fastidio. Questo problema si risolve utilizzando la nozione quasi ovunque.

Definizione

Diremo che $f\approx g$, con $f,g:D\to \mathbb {R}$, quasi ovunque (approssimato con q.o.) se vale $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ appartenente all'insieme considerato $D\setminus E$, con $m(E)=0$, ovvero se le funzioni sono identiche a meno di un insieme di punti insignificante (o a misura nulla).

Possiamo considerare la funzione di Dirichlet uguale alla funzione nulla quasi ovunque in $[0,1]$ poiché sappiamo che i razionali sono un insieme insignificante. In questo modo, anche la funzione di Dirichlet rientra nello spazio delle funzioni sommabili. Inoltre, data questa definizione, possiamo anche dire che $f(x)$, la funzione integranda, non è una funzione, bensì rappresenta una classe di funzioni.

Inoltre, finalmente, abbiamo raggiunto il nostro scopo: $L^{2}(0,1)$ è uno spazio di Hilbert.

Vediamo per quali $\alpha >0\ \in \mathbb {R}$ la funzione ${\frac {1}{x^{\alpha }}}\in L^{2}(0,1)$. Ci stiamo chiedendo se l'area di un ramo di iperbole equilatera e sue potenza è finita o no.

Per risolvere il problema dei calcoli, taglio a una fissata quota $R$ il grafico con un segmento orizzontale, incontrando la funzione nel punto $(x_{R},R)$; otteniamo la funzione:

$T_{R}\left({\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)={\begin{cases}&R\quad x\in [0,x_{R}]\\&{\frac {1}{x^{\alpha }}}\quad x\in (x_{R},1]\end{cases}}$

Al crescere di $R$, la successione tende alla funzione ${\frac {1}{x^{\alpha }}}$; la successione è monotona e, quindi, misurabile.

$\int _{0}^{1}T_{R}\left({\frac {1}{x^{\alpha }}}\right)dx=Rx_{R}+\left[{\frac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]_{x_{R}}^{1}$

Calcoliamoci esplicitamente il valore di $x_{R}$:

${\frac {1}{x_{R}^{\alpha }}}=R\quad \to \ x_{R}={\frac {1}{R^{\frac {1}{\alpha }}}}$

Sostituendo sopra:

${\begin{aligned}&Rx_{R}+{\frac {1}{1-\alpha }}-{\frac {x_{R}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\\&\alpha \left({\frac {x_{R}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right)+{\frac {1}{1-\alpha }}=\left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\cdot {\frac {1}{R^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}\right)+{\frac {1}{1-\alpha }}\end{aligned}}$

L'unico modo per avere un'area finita è quello di avere il termine tra parentesi nullo, ovvero far tendere $R\to \infty$; deve necessariamente essere che $1-\alpha >0$, altrimenti il denominatore andrebbe al numeratore facendo esplodere l'area all'infinito, quindi otteniamo $\alpha <1$. Infatti la funzione ${\frac {1}{x}}$ non è sommabile.