Misura e integrale di Lebesgue/Integrale di Lebesgue e proprietà

Definizione

Suppponiamo $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ insieme misurabile; consideriamo la funzione $f:E\to \mathbb {R}$ misurabile. Assumiamo che la funzione abbia solo valori positivi, ovvero sia $f:E\to [0,+\infty ]$. Definiamo integrale secondo Lebesgue:

$\int _{E}f(x)dx=\sup _{\left\{{\begin{aligned}s\ semplice\\s(x)\leq f(x)\end{aligned}}\right\}}\int _{E}s(x)dx$

Inoltre, se $\sup \int _{E}s(x)dx<+\infty$ si dice che $f(x)$ è sommabile.

In sintesi, la definizione rappresenta l'intuizione già spiegata nel modulo precedente: mentre Riemann approssimava dal basso e dall'alto l'area con dei rettangoli, andando poi al limite, Lebesgue approssima senza passare al limite l'area con l'area della funzione semplice più simile a quella. La mancanza del limite è un grandissimo passo avanti.

Come già detto, le funzioni integrabili secondo Lebesgue sono tantissime, e sforano lo spazio delle funzioni continue. Tuttavia, le funzioni sommabili, ovvero quelle di integrale limitato, sono un po' meno: ad esempio, $f(x)={\frac {1}{x}}$ è continua in $(0,1)$, è integrabile, vale $x$ = $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=+\infty$ e quindi non è sommabile. Parleremo dello spazio delle funzioni sommabile nel prossimo modulo.

In questo ci soffermeremo a parlare delle proprietà dell'integrale di Lebesgue. Nella sua dissertazione, Lebesgue espose la sua teoria della misura, presentando l'integrale ed elencando le sei proprietà che questo rispetta. Sono le seguenti.

1. se $0\leq f(x)\leq g(x)$, allora $\int _{e}f(x)dx\leq \int _{E}g(x)dx$;
2. se $A\subseteq E$, allora $\int _{A}f(x)dx\leq \int _{E}f(x)dx$, con $f(x)\geq 0$;
3. linearità: $\int _{E}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int _{E}f(x)dx+\beta \int _{E}g(x)dx$;
4. se $f(x)=0\,\forall \,x\in E$, allora $\int _{E}f(x)dx=0$, anche se $m(E)=+\infty$;
5. se $m(E)=0$, allora $\int _{e}f(x)dx=0$, anche se $f(x)=+\infty \,\forall \,x\in E$;
6. se $\Omega \subseteq E$, si ha $\int _{\Omega }f(x)dx=\int _{E}f(x)\chi _{\Omega }(x)dx$.

Le proprietà 4, 5 rispecchiano il fatto che $0\cdot \infty =0$; inoltre, la 5 ci indica che la misura di una retta è 0. Quindi, se prendiamo la funzione costante $f(x)=1$ nell'intervallo $[0,1]$, e mandiamo un insieme numerabile di punti all'infinito, l'integrale resterà sempre 1.