Matematica per le superiori/L'iperbole: differenze tra le versioni
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==Equazione generica== |
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Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro: |
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:<math>F_1 ( -c ; 0 ) \, </math> |
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:<math>F_1 ( -c ; 0 ) \, </math> |
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:<math> \left | PF_1 - PF_2 \right | = 2a</math> |
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Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo <math>2a</math>. |
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Sviluppando avremo: |
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:<math> \left | \sqrt{(x-c)^2 + y^2} - \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \right | = 2a</math> |
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:<math> \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> (x-c)^2 +y^2 = 4a^2 +(x+c)^2 +y^2 +4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> x^2 + c^2 -2cx -4a^2 -x^2 -c^2 -2cx = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math> |
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Per comodità possiamo porre: |
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e avremo quindi: |
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:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1</math> |
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Questa è detta '''equazione canonica dell'iperbole'''. |
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== Centro e punti notevoli == |
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Chiamiamo '''centro''' dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione: |
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:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1</math> |
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Chiamiamo poi '''vertici''' dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo: |
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\left\{\begin{matrix} |
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\begin{align} |
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& \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \\ |
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& y = 0 \\ |
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\end{align} |
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\end{matrix}\right. |
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</math> |
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:<math>\frac{x^2}{a^2} = 1</math> |
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:<math> x^2 = a^2</math> |
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:<math> x = \pm a</math> |
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I vertici saranno pertanto: <math>V(a; 0)</math> e <math>V(-a; 0)</math> |
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== Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate == |
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Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta <math> y = x </math>. L'equazione diventerà quindi: |
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:<math> \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1</math> |
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:<math> \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1</math> |
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<math> \frac{(x - x_c)^2}{a^2} -\frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1</math> |
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Versione delle 16:45, 5 apr 2009
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione generica
Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:
L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:
Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo .
Sviluppando avremo:
Per comodità possiamo porre:
e avremo quindi:
Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.
Centro e punti notevoli
Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:
Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:
I vertici saranno pertanto: e
Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate
Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta . L'equazione diventerà quindi:
Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine: