Le formule di addizione e sottrazione servono per esprimere le funzioni goniometriche di una somma (o sottrazione) di due angoli di cui sono già note le funzioni.[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{(1\mp \tan \alpha \tan \beta )}}\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd714bf2dd331321790378c2211ad5a25eb3280)
Le formule di duplicazione, che si ricavano dalle precedenti, servono per esprimere le funzioni goniometriche di un angolo doppio di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\alpha &=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\\cos 2\alpha &=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \\\tan 2\alpha &={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce5936db06a7536688367bed06c07cdfc85e72c)
Le formule di bisezione servono per esprimere le funzioni goniometriche di un angolo pari alla metà di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\\\tan {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd292ad74f4034ad7e1751aa6beccbb61203097)
Le formule di prostaferesi trasformano somme e sottrazioni di funzioni goniometriche in prodotti.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha +\sin \beta &=2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\sin \alpha -\sin \beta &=2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\cos \alpha +\cos \beta &=2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\cos \alpha -\cos \beta &=-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\tan \alpha \pm \tan \beta &={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc3cdcc3ab043ef830544cc98753bdab887368d)
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner.
![{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb76f5c696508fe649faab69c24feb1ea1d27c8)
La formula di partenza può essere riscritta come:
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75ca8411ac54c57c5d2b9f1ed73a3ab3759833b)
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:
![{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fab12debc4b08a2d03a86f724fcf8c7d892b5a)
Utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
![{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7d265bda9e3b179d6df9e11570f7911e6920c9)
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
![{\displaystyle 2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995049b3ce4d6104eff206dc2573976d5fa9a658)
![{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e01351800fff79b36d777b1041223966eb5ec9)
La formula di partenza può essere riscritta come:
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f19bdfb6254eb333d10e7c31a18eca411af3c8a)
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:
![{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38710759252d5b942fc90fd9bbb2e592940d097b)
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
![{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5320829455bda05c84a453dd834e319decc23f98)
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
![{\displaystyle 2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e09310f8da866d2da87ed5b3f602361de46e20)
![{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0347e55bbe728ac32acc23a23741d22bb0fbbc38)
La formula di partenza può essere riscritta come:
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3d7a3846d71bd363a3c3285005925df3787b69)
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:
![{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520372d6b6ea60b3625ee092a7e7c2fcef7f9241)
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
![{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009f8c0182c915a031403d08126db09181c661c0)
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
![{\displaystyle 2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993fcbd3a9b0717911ee9d5c19a535de4bf89e91)
![{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972ae15cdca326836d5a7cab45d5f3bdb9404367)
La formula di partenza può essere riscritta come:
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07fe85542163f78d3116c6dc3f100fffcb3ae8b)
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:
![{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd3e8630be9b9d93363d9660464eacdb5c55cfd)
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
![{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aed08ddb39a4caf11c132bd932fc18bc575444)
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
![{\displaystyle -2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86c0b5ab5e2c5f35583c27f9728c2a99319b650)
quindi arrivederci
con ![{\displaystyle \alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ccdfa8cbff540a720966207c2d1fc75616f2c1)
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente, come:
![{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225797942a3869a945daf2d71441ef8095e0adb6)
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli:
![{\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \cos \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739ee8a30dc92f6c878939c908f45c9ed460c977)
Da cui, raccogliendo il denominatore:
![{\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2c13940530eb8209c7e6ebe11f44b12314c328)
Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:
![{\displaystyle {\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1ed21ae40b76115175877693ef43aab5849a8f)
con ![{\displaystyle \alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a2e2060020083419a08231826c46fa729504d5)
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente, come:
![{\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72b5fde1d2884bd6dfef23ad4a97d5ab051761f)
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli:
![{\displaystyle {\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\pm {\frac {\cos \beta \sin \alpha }{\sin \beta \sin \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303ab0b49f3b4cfa3515a32cde7c0cffb650ddf3)
Da cui, raccogliendo il denominatore:
![{\displaystyle {\frac {\cos \alpha \sin \beta \pm \cos \beta \sin \alpha }{\sin \alpha \sin \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95039b9832f6787759f78d18025eb7478b3b146)
Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:
![{\displaystyle {\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2646704d8e38b4d3d35b283a442dfac24555134a)
Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme e sottrazioni.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha \sin \beta &={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )]\\\cos \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]\\\sin \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )]\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c66fd6a9368ca6acc72df520d6fb9c048890e59)
- ↑ La formula per la tangente si ottiene dividendo numeratore e denominatore per cos α cos β.
- ↑ Le formule per la tangente si ottengono considerando che sin2 α = 1 – cos2 = (1 – cos α)(1 + cos α).