Trigonometria/Funzioni goniometriche

Uguaglianza di rapporti

Per i cerchi indicati in figura, si ha l'uguaglianza dei rapporti:

${\frac {OH}{OB}}={\frac {OH_{1}}{OB_{1}}}={\frac {OH_{2}}{OB_{2}}}$

e

${\frac {BH}{OB}}={\frac {B_{1}H_{1}}{OB_{1}}}={\frac {B_{2}H_{2}}{OB_{2}}}$

Questi due rapporti risultano indipendenti dal raggio del cerchio considerato, ma funzione unicamente dell'angolo scelto; in altre parole, questi rapporti sono funzioni dell'angolo considerato (o dell'arco di circonferenza su cui l'angolo insiste).
Essendo rapporti tra lunghezze, dimensionalmente sono dei numeri puri, indipendenti dall'unità di misura scelta.

Seno e coseno

I rapporti che abbiamo visto permettono di definire esattamente un angolo; se, ad esempio, è:

${\frac {BH}{BO}}=1$,

allora essendo questo possibile solo quando in lunghezza BH è uguale al raggio del cerchio, significa che ci riferiamo ad un angolo di 90° (con, nel nostro caso, BH coincidente con l'asse verticale).

Il sistema cartesiano

Ma un angolo può superare i 90° e il punto B può trovarsi alla sinistra dell'asse Y o al di sotto dell'asse X. Per distinguere questi diversi casi, i rapporti funzione dell'angolo vengono considerati come dotati di segno; questo è ottenibile considerando l'ascissa x e l'ordinata y del punto B nel sistema di coordinate XY, la cui origine coincide con il centro del cerchio trigonometrico.
Queste due coordinate assumono nomi particolari:
Si dice seno di un arco l'ordinata dell'estremo dell'arco.
Si dice coseno dell'arco l'ascissa dell'estremo dell'arco.
Con riferimento al cerchio trigonometrico, anziché come funzioni dell'arco queste posssono essere viste come funzioni dell'angolo.
Al variare di $\alpha$, ossia al muoversi di B sulla circonferenza, le funzioni seno e coseno assumono diversi valori; in particolare:

• Al variare di $\alpha$ tra 0 e $\pi /2$:
  
  • Il seno cresce dal valore 0 al valore 1
    
  • Il coseno decresce dal valore 1 al valore 0
    
• Al variare di $\alpha$ tra $\pi /2$ e $\pi$:
  
  • Il seno decresce dal valore 1 al valore 0
    
  • Il coseno decresce dal valore 0 al valore -1
    
• Al variare di $\alpha$ tra $\pi$ e $3\pi /2$:
  
  • Il seno decresce dal valore 0 al valore -1
    
  • Il coseno cresce dal valore -1 al valore 0
    
• Al variare di $\alpha$ tra $3\pi /2$ e $2\pi$:
  
  • Il seno cresce dal valore -1 al valore 0
    
  • Il coseno cresce dal valore 0 al valore 1
    

Se poi l'angolo continua a crecere olte $2\pi$, seno e coseno varieranno di nuovo seguendo lo stesso andamento.
Quindi il seno e il coseno sono funzioni periodiche di periodo $2\pi$, ossia:

$\sin \alpha =\sin {\left(\alpha +2\pi \right)}$

$\cos \alpha =\cos {\left(\alpha +2\pi \right)}$

Tangente

Altri rapporti sul cerchio goniometrico

Attraverso considerazioni del tutto simili a quelle viste nel caso del seno e del coseno, si vede che anche i rapporti:

${\frac {AT}{AO}}={\frac {A_{1}T_{1}}{A_{1}O}}={\frac {A_{2}T_{2}}{A_{2}O}}$

sono indipendenti dal raggio e funzione dell'angolo al centro $\alpha$ o del relativo arco; questa funzione viene detta tangente dell'angolo $\alpha$. Ricordando che il raggio del cerchio è preso come unità di misura anche sull'asse delle ordinate:
Si dice tangente di un arco AB (o del relativo angolo al centro) l'ordinata del punto nel quale la retta OB incontra la tangente geometrica condotta al cerchio goniometrico per il punto A, origine dell'arco.

Tangente di $\pi /2$

Nel primo quadrante la funzione cresce al crescere dell'arco, ed è quindi una funzione crescente; ma quando il punto B si avvicina al valore $\pi /2$, l'estremo T del segmento AT dovrebbe essere determinato dall'incontro delle rette OC e AT: ma se queste tendono ad essere parallele, l'incontro non si verifica e quindi la tangente di $\pi /2$ non esiste.
Questo può essere espresso in prima istanza nella forma: il limite cui tende la tangente di $\left(\pi /2-\epsilon \right)$, per $\epsilon$ tendente a zero, è l'infinito positivo o, in forma abbreviata:

$\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-\epsilon \right)=+\infty$

O, equivalentemente: dato un numero positivo N comunque grande, è sempre possibile individuare un arco $\epsilon$ tale che, per tutti gli archi $\alpha$ maggiori di $\left(\pi /2-\epsilon \right)$ e minori di $\pi /2$, risulti:

$\tan \alpha >N$

Al variare di $\alpha$, ossia al muoversi del punto B sulla circonferenza, la funzione tangente assume diversi valori; in particolare:

• Per $0\leq \alpha <\pi /2$, la funzione tangente è una funzione crescente positiva illimitata
  
• Per $\pi /2<\alpha \leq \pi$, la funzione tangente è una funzione crescente negativa
  
• Per $\pi \leq \alpha <3\pi /2$, la funzione tangente è una funzione crescente positiva illlimitata
  
• Per $3\pi /2<\alpha \leq 2\pi$, la funzione tangente è una funzione crescente negativa
  

Se poi l'angolo continua a crescere oltre il valore $2\pi$, il ciclo si ripeterà identico; per questo si dice che la tangente è una funzione periodica di periodo $\pi$, ossia:

$\tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha$

per qualsiasi valore di $\alpha$, e $\pi$ è il valore minimo per cui ciò si verifica.
Si noti che la tangente, pur oscillando continuamente tra meno e più infinito, è una funzione sempre crescente e non dotata di massimi o minimi.

Tangente, seno e coseno

Nella figura, la tangente dell'angolo $\alpha$ è rappresentata dal rapporto AD/OA, ma il triangolo OAD è per costruzione simile al triangolo OBC, quindi deve essere:

${\frac {AD}{OA}}={\frac {CB}{OC}}$

Ma nel cerchio trigonometrico si ha:

$OA=1$
$AD=\tan \alpha$
$CB=\sin \alpha$
$OC=\cos \alpha$

Quindi, deve essere:

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Altre funzioni goniometriche

Riassunto delle funzioni goniometriche

Nel tempo, sono state definite svariate funzioni goniometriche: alcune utilizzate, anche se raramente, ancora oggi, mentre altre sono cadute in disuso. Nella figura, sono state raggruppate le principali funzioni per mostrare la loro interdipendenza.
La cotangente è definita come l'inverso della tangente:

$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}$

Come si vede nel disegno, la tangente e la cotangente hanno una doppia rappresentazione: la tangente come i segmenti AE e JD, la cotangente come i segmenti FA e HK; la dimostrazione che questi segmenti sono a due a due uguali è sostanzialmente identica in entrambi i casi. Infatti, il triangolo OEA è simile al triangolo OJD (l'angolo in O è in comune, gli angoli OAE e ODJ sono retti); il triangolo DAO è isoscele, e il segmento AE è costruito nello stesso modo di DJ, prendendo la tangente nel punto A (o D) e prolungandola sino ad incontrare il prolungamento dell'altro lato del triangolo isoscele; quindi i due triangoli sono uguali, e in particolare AE=DJ. Identico ragionamento può essere applicato ai triangoli OAF e OKH per dimostrare l'uguaglianza dei due segmenti FA e HK.
Il senoverso è definito come la differenza tra 1 e il coseno dell'angolo:

$\operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha$

Similmente, il cosenoverso è definito come la diffeenza tra 1 e il seno dell'angolo:

$\operatorname {vercos} \alpha =1-\sin \alpha$

La secante è definita come l'inverso del coseno:

$\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}$

e la cosecante come l'inverso del seno:

$\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}$

Queste due ultime funzioni ammettono anche le corrispondenti funzioni esterne, definite come il valore della funzione meno 1:

$\operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1$

$\operatorname {excsc} \alpha =\csc \alpha -1$

Infine, la corda, definita come la base del triangolo isoscele avente angolo al vertice $\alpha$ e gli altri due lati di lunghezza unitaria: come vedremo in seguito,

$\operatorname {crd} \alpha =2\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}$

Le funzioni inverse

Ogni funzione trigonometrica ammette la funzione inversa, che risponde alla domanda "quale arco (o angolo) ha questo specifico valore per la data funzione?". Visto che ogni funzione trigonometrica ha una periodicità, infiniti valori rispondono a questa domanda, e di solito ci si limita al valore principale, ossia al valore minimo (in valore assoluto) dell'angolo soddisfacente la condizione data.
Le funzioni inverse vengono indicate premettendo alla funzione diretta il termine arc- ("arco-" se si sta usando il nome esteso); quindi arcsin x indica l'arcoseno di x, arccos x l'arcocoseno di x, eccetera.
Le funzioni inverse hanno dominio di esistenza dipendente dal codominio della funzione diretta: ad esempio, in arcsin x saranno ammessi solo i valori di x compresi tra -1 e +1 (così come per l'arcocoseno), mentre in arctan x l'argomento potrà avere qualsiasi valore.