Trigonometria/Triangoli

Risoluzione di triangoli rettangoli

Teoremi fondamentali

Cateto dall'angolo opposto

Dalla figura, dove sono tracciati un arco del cerchio trigonometrico e il triangolo rettangolo di ipotenusa c, se si considerano i due triangoli simili si vede subito che è:

$a\div c=\sin \alpha \div 1$

ossia che in un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso:

$a=c\cdot \sin \alpha$

Essendo α e β angoli complementari, possiamo sostituire sin α con cos β, e quindi:

$a=c\cdot \cos \beta$

ossia che in un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente.
Inoltre dalla figura si ha che, sempre per i rapporti di similitudine tra i triangoli:

$a\div b=\tan \alpha \div 1$

e quindi:

$a=b\tan \alpha$

spesso è comodo ricordare questa formula come:

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

ossia che la tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è pari al rapporto tra il cateto opposto e l'altro cateto.
Ricordando che α è complementare a β, si ha anche che:

$a=b\cot \beta$

ossia in un triangolo rettangolo un cateto è pari all' altro cateto per la cotangente dell'angolo acuto ad esso adiacente.
Dei sei elementi che definiscono un triangolo (tre angoli e tre lati), in un triangolo rettangolo uno (lángolo retto) è sempre noto; tra i restanti cinque elementi sussistono quindi le tre relazioni:

$\left\{{\begin{matrix}\beta +\alpha =90^{\circ }\\a=c\sin \alpha \\b=c\sin \beta \end{matrix}}\right.$

Queste costituiscono il sistema fondamentale per la risoluzione del triangolo rettangolo, nel senso che dati due dei cinque elementi (tra cui almeno un lato) gli altri tre si possono calcolare risolvendo il sistema fondamentale, che diventa un sistema di tre equazioni in tre incognite.
Anche la relazione a=tan α potrebbe sembrare una relazione fondamentale, ma ricordando che b=c sin β = c cos α si vede che, dividendo membro a membro le due ultime relazioni viste sopra si ha:

${\frac {a}{c}}={\frac {c\sin \alpha }{c\cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$

e quindi la relazione non è indipendente dalle altre.

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Da quanto detto, è facile considerare nella sua generalità il problema della risoluzione di un qualsiasi triangolo rettangolo, ossia: dati due elementi di un triangolo rettangolo qualsiasi , di cui almeno uno sia un lato, trovare i tre elelemnti incogniti. Si possono avere quattro casi, in funzione di quali sono i dati:

• L'ipotenusa e un angolo acuto;
  
• Un cateto e un angolo acuto;
  
• L'ipotenusa e un cateto;
  
• I due cateti.
  

Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi

Dopo aver visto le relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo, vediamo ora le relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi.

Teorema dei seni

Elementi del triangolo acutangolo

Dato il triangolo ABC, tracciamo l'altezza AH: essendo i due triangoli AHC e ABH rettangoli (di ipotenuse rispettivamente b=AC e c=AB), varranno le relazioni:

$h=b\sin \gamma$
$h=c\sin \beta$

Uguagliandole tra di loro:

$b\sin \gamma =c\sin \beta$

Dividendo ambo i membri per sin β sin γ, si ha:

${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Se, anziché abbassare l'altezza su a, la abbassiamo su c, otteniamo, con il medesimo procedimento:

${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$

Uguagliando queste ultime due espressioni si ottiene il teorema dei seni:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Elementi di un triangolo ottusangolo

Nel caso il triangolo considerato sia ottusangolo, la dimostrazione segue circa le stesse linee: dato il triangolo ABC, ottuso in C, tracciata la sua altezza h=AH, si ha che nei triangoli rettangoli ABH e ACH:

$h=c\sin \beta$

$h=b\sin \left(180^{\circ }-\gamma \right)$

ma essendo sin (180°-γ)=sin γ, si ha:

$h=c\sin \beta =b\sin \gamma$

Tenendo solo il secondo e il terzo membro e dividendoli entrambi per sin β sin γ, si ricava:

${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Analogamente, abbassando l'altezza da C su c, si ottiene la seconda relazione:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$

Queste due relazioni, uguagliate tra di loro, ci portano al teorema dei seni come visto qui sopra.

Diametro del cerchio circoscritto ad un triangolo

Diametro del cerchio circoscritto

Effettueremo i calcoli sul caso specifico di centro del cerchio esterno al triangolo; il caso con centro del cerchio interno al triangolo è perfettamente equivalente.
Consideriamo il triangolo ABC inscritto nel cerchio di centro O e sia R il raggio del cerchio.
Possiamo costruire il triangolo DBC insistente sul medesimo arco CB e per cui il lato CD passa per il centro: l'angolo CAB e l'angolo CDB sono uguali tra loro, essendo angoli che sottendono lo stesso arco di cerchio; non solo, ma l'angolo DBC è retto in quanto angolo sottendente il diametro CD, quindi:

$a=2R\sin \alpha \quad \Rightarrow \quad {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R$

E quindi, in base al teorema dei seni:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualsiasi (acutangolo), considerato che i triangoli ACH e ABH sono rettangoli, vale:

$a=CH+BH=b\cos \gamma +c\cos \beta$

Se il triangolo è ottusangolo:

$a=HB-HC=c\cos \beta -b\cos \left(180^{\circ }-\gamma \right)=c\cos \beta -\left(-b\cos \gamma \right)=c\cos \beta +b\cos \gamma$

Quindi, per qualsiasi triangolo,

$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

Teorema del coseno

Se m è la proiezione di c su b, dal Teorema di Ippocrate si ha:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}\mp 2m$

dove il segno è negativo se l'angolo α è acuto, positivo se l'angolo è ottuso.
Nel caso dell'angolo acuto si ha:

$m=c\cos \alpha$

mentre, nel caso dell'angolo ottuso:

$m=c\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)$

in entrambi i casi (tenendo conto del cambiamento di segno) e attraverso permutazione circolare dei simboli, si hanno le regole:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Teorema delle tangenti

Per il teorema dei seni, si ha:

${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

componendo e scomponendo:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -sin\beta }}$

Trasformando il secondo membro attraverso le formule di prostaferesi:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\sin {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{2\sin {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}$

Semplificando il secondo membro:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}$

Formule di Briggs

Dalla formula di bisezione per il seno, moltiplicando entrambi i membri per il valore 2, si ha:

$2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha =1-\cos \alpha$

Se sostituiamo nel secondo membro a cos α il valore dato dal teorema del coseno, abbiamo:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

tornando alla prima espressione, con i dati appena ricavati:

${\begin{aligned}2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha &=1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {a^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-2bc\right)}{2bc}}\\&={\frac {a^{2}-\left(b-c\right)^{2}}{2bc}}\\&={\frac {\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2bc}}\end{aligned}}$

Se p indica il semiperimetro (a+b+c=2p) i termini a numeratore dell'ultima espressione possono essere espressi come:

$a+b-c=2\left(p-c\right)$
$a-b+c=2\left(p-b\right)$

da cui:

$\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}$

e quindi:

$\sin {\frac {1}{2}}\alpha ={\sqrt {\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}}$

Si noti che il radicale non ha doppio segno, in quanto in un triangolo qualunque angolo è minore di 180°. Inoltre, essendo α un angolo qualsiasi, la stessa formula si può applicare, con le opportune permutazioni, a β e a γ.
Una dimostrazione simile permette di esprimere il coseno: dalla formula di bisezione, moltiplicando entrambi i membri per il valore 2, si ha:

$2\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha =1+\cos \alpha$

Se sostituiamo nel secondo membro a cos α il valore dato dal teorema del coseno, abbiamo:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

e quindi, come nel caso precedente:

${\begin{aligned}2\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha &=1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {\left(2bc+b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {\left(b+c\right)^{2}-a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{2bc}}\\&={\frac {2p\cdot 2\left(p-a\right)}{2bc}}\\&={\frac {2p\left(p-a\right)}{bc}}\end{aligned}}$

e quindi:

$\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha ={\frac {p\left(p-a\right)}{bc}}$

ossia

$\cos {\frac {1}{2}}\alpha ={\sqrt {\frac {p\left(p-a\right)}{bc}}}$

Per ottenere la formula di Briggs basta ora dividere membro a membro le espressioni ottenute per il seno e il coseno:

${\begin{aligned}\tan {\frac {1}{2}}\alpha &={\frac {\sin {\frac {1}{2}}\alpha }{\cos {\frac {1}{2}}\alpha }}\\&={\sqrt {\frac {\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}{\frac {p\left(p-a\right)}{bc}}}}\end{aligned}}$

e, semplificando:

$\tan {\frac {1}{2}}\alpha ={\sqrt {\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}}}$

identicamente, si ottengono le:

$\tan {\frac {1}{2}}\beta ={\sqrt {\frac {\left(p-a\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-b\right)}}}$

$\tan {\frac {1}{2}}\gamma ={\sqrt {\frac {\left(p-a\right)\left(p-b\right)}{p\left(p-c\right)}}}$

Risoluzione di triangoli qualsiasi

I teoremi precedenti permettono di risolvere il problema fondamentale della trigonometria: dati tre elementi di un triangolo, di cui almeno uno è un lato, determinare la misura degli altri tre elementi.
Nel seguito, per evitare ripetizioni dello stesso disegno, faremo riferimento a un triangolo generico ABC di lati a=BC, b=AC, c=AB e angoli (interni) α=CAB, β=ABC, γ=ACB.

Regola generale

Ogni triangolo si risolve mediante il teorema dei seni,

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

però:

• Se i dati sono i tre lati, si fa uso della formula di Briggs e relative permutazioni (p=semiperimetro):
  

$\tan {\frac {1}{2}}\alpha ={\sqrt {\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}}}$

• Se i dati sono due lati e l'angolo compreso, si fa uso del teorema delle tangenti e relative permutazioni:
  

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}$

Nel seguito, vedremo alcuni casi di applicazione.

Quarto criterio di uguaglianza dei triangoli

Ai tre criteri noti di uguaglianza dei triangoli:

1. Due triangoli sono uguali se hanno uguali due lati e l'angolo compreso.

2. Due triangoli sono uguali se hanno uguali due angoli e il lato ad essi contiguo.

3. Due triangoli sono uguali se hanno uguali i tre lati

se ne aggiunge un quarto:

4. Due triangoli sono uguali se hanno uguali due lati e gli angoli opposti a una coppia di lati uguali, purché gli angoli opposti all'altra coppia di lati uguali siano della stessa specie (ossia entrambi acuti, entrambi retti o entrambi ottusi).

Quarto criterio di uguaglianza

Infatti, con riferimento alla figura, si vede che nei triangoli ABC e A'B'C', si ha c=c', b=b' e β=β'; ma considerando anche il terzo triangolo, si vede che il fatto che c=c'=c", b=b'=b" e β=β'=β" non è sufficiente a definire l'uguaglianza dei triangoli: va introdotta l'ulteriore condizione che gli angoli in C, C' e C" siano tutti dello stesso tipo; questo avviene nei primi due casi, ma non nel terzo.

I diversi casi di risoluzione

Esaminiamo i diversi casi di risoluzione, fermo restando che ogni caso può essere risolto anche attraverso altre vie sempre trigonometriche.

Dati due lati e l'angolo compreso

Siano dati i lati b e c e l'angolo compreso tra di loro γ.
Si ha immediatamente che:

$\alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma$

Possiamo però conoscere anche la differenza tra gli angoli α e β attraverso la formula delle tangenti, che scriviamo invertendo le due frazioni:

${\frac {\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {a-b}{a+b}}$

Ricordando quanto detto qui sopra sulla somma degli angoli, si ricava:

${\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)=90^{\circ }-{\frac {1}{2}}\gamma$

e quindi (applicando, nell'ultimo passaggio, la relazione fondamentale tra funzioni e cofunzioni):

$\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {1}{2}}\gamma \right)=\cot {\frac {1}{2}}\gamma$

ossia:

$\tan {\frac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)={\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {1}{2}}\gamma$

da cui possiamo calcolare la semidifferenza tra i due angoli, arrivando al sistema:

${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {1}{2}}\beta =m\\{\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {1}{2}}\beta =n\end{cases}}$

con m e n numeri dati; per addizione e per sottrazione si ricava quindi:

$\alpha =m+n\qquad \beta =m-m$

mentre il terzo lato è ricavabile attraverso una qualsiasi delle relazioni date dal teorema dei seni, ad esempio:

$a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}$

Dati due angoli e il lato ad essi comune

Dati ad esempio β, γ e a (con β+γ<180°), dal teorema dei seni si ricava:

$\alpha =180^{\circ }-\left(\beta +\gamma \right)$

$b={\frac {a}{\sin \alpha }}\sin \beta$

$c={\frac {a}{\sin \alpha }}\sin \gamma$

Questo particolare caso è detto, dato il suo uso, caso fondamentale della triangolazione.

Dati i tre lati

Dati a, b e c, sono normalmente utilizzate le formule di Briggs:

$\tan {\frac {1}{2}}\alpha ={\sqrt {\frac {\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}}}$

$\tan {\frac {1}{2}}\beta ={\sqrt {\frac {\left(p-a\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-b\right)}}}$

$\tan {\frac {1}{2}}\gamma ={\sqrt {\frac {\left(p-a\right)\left(p-b\right)}{p\left(p-c\right)}}}$

Tradizionalmente si utilizzano le formule relative alle tangenti che, in caso di utilizzo delle tavole trigonometriche e logaritmiche, semplificano i calcoli.

Dati due lati e l'angolo opposto ad uno di essi

Questo è il caso corrispondente al quarto criterio di uguaglianza visto sopra; in alcuni casi, però, il problema risulta non risolubile, e devono essere discusse le condizioni di risolubilità. Distinguiamo i due casi di angolo α acuto e ottuso.

Caso di α acuto

Se h=CH è l'altezza abbassata da C di piede H sul lato AB, deve essere a≥h; ma essendo il triangolo ACH rettangolo, deve valere h = b sin α. Quindi, la condizione di esistenza della soluzione diventa:

$a\geq b\sin \alpha$

Inoltre, se a<b, saremo nelle condizioni di doppia soluzione del quarto criterio, in quanto l'angolo β potrà essere acuto o ottuso; infine, se a≥b, la soluzione sarà unica.

Caso di α ottuso

In questo caso, non vi sono soluzioni se a≤b; nel caso invece di a>b, si ha una soluzione.
Stabilita l'esistenza di almeno una soluzione, si può risolvere il triangolo attraverso il teorema dei seni.