Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli

Valore assoluto

Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero $a$, indicato con $|a|$, è lo stesso numero $a$ se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè $-a$, se è minore di zero. In sintesi scriviamo:

$\left|a\right|={\begin{cases}a&{\text{ se }}a\geq 0\\-a&{\text{ se }}a<0\end{cases}}$

Per esempio $\left|+7\right|=7$, $\left|-3\right|=-(-3)=3$, $\left|0\right|=0$, $\left|-1\right|=1$, $\left|1\right|=1$.

In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica $E=x^{2}-3x$, indicato con $\left|x^{2}-3x\right|$, è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio,

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x^{2}-3x\geq 0\\-\left(x^{2}-3x\right)&{\text{ se }}x^{2}-3x<0\end{cases}}.$

Risolvendo la disequazione $x^{2}-3x\geq 0$ si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x\leq 0\vee x\geq 3\\-x^{2}+3x&{\text{ se }}0<x<3\end{cases}}.$

In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:

$\left|f(x)\right|={\begin{cases}f(x)&{\text{ se }}f(x)\geq 0\\-f(x)&{\text{ se }}f(x)<0\end{cases}}.$

La funzione $f(x)$ è detta argomento del valore assoluto.

Esempio:

Per la funzione $f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|$ trovare le espressioni algebriche che descrivono i due casi.

Per definizione si ha:

$f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|={\begin{cases}{\sqrt {3}}+3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x\geq 0\Rightarrow x\geq -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\sqrt {3}}-3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x<0\Rightarrow x<-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\end{cases}}.$

Esempio:

Data la funzione $f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x+1\right|-2x$ descriverla per casi, eliminando i valori assoluti.

Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto

${\begin{array}{l}x^{2}-4\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq -2\vee x\geq 2\\x+1\geq 0\quad \Rightarrow \quad x>-1.\end{array}}$

La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

• Nell’intervallo $x\leq -2$ l’argomento del primo valore assoluto è positivo o uguale a 0 per $x=-2$ e quello del secondo è negativo;

• nell’intervallo $-2<x<-1$ tutti e due gli argomenti del valore assoluto sono negativi;

• nell’intervallo $-1\leq x\leq 2$ l’argomento del primo valore assoluto è negativo o uguale a 0 per $x=2$, quello del secondo è positivo o uguale a 0 per $x=1$;

• nell’intervallo $x>2$ entrambi gli argomenti sono positivi.

In sintesi

$f(x)={\begin{cases}(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}x\leq -2\\-(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}-2<x<-1\\-(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}-1\leq x\leq 2\\(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}x>2\end{cases}}.$

Equazioni in una incognita in valore assoluto

Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo

• Equazioni con valore assoluto del tipo $\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k\geq 0$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-7\right|=3$.

Per la definizione di valore assoluto si ha che $\left|x^{2}-7\right|={\begin{cases}x^{2}-7&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}\;$, pertanto l’equazione diventa

$\left|x^{2}-7\right|=3\Rightarrow {\begin{cases}x^{2}-7=3&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7=3&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}$

ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{-x^{2}+7=3}\end{array}}\right..$

Moltiplicando per $-1$ ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{x^{2}-7=-3}\end{array}}\right..$

Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione $x^{2}-7=3$ verifica automaticamente la disequazione $x^{2}-7\geq 0$ in quanto è richiesto che $x^{2}-7$ sia uguale a $3$, pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni $x^{2}-7=3$ e $x^{2}-7=-3$ unendone le soluzioni. Quindi

${\begin{array}{l}x^{2}-7=3\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x_{1}=-{\sqrt {10}}\;\vee \;x_{2}={\sqrt {10}}{\text{ e}}\\x^{2}-7=-3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{3}=-2\;\vee \;x_{4}=2.\end{array}}$

L’insieme delle soluzioni è quindi: $\left\{-{\sqrt {10}}{\text{, }}{\sqrt {10}}{\text{, }}-2{\text{, }}+2\right\}$.

Procedura risolutiva  Per risolvere un’equazione del tipo $\left|f(x)\right|=k\,{\text{ con }}k\geq 0$ è sufficiente risolvere la doppia equazione $f(x)=\pm k$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-x\right|=1.$

L’equazione $\left|x^{2}-x\right|=1$ si risolve unendo le soluzioni delle equazioni $x^{2}-x=1$ e $x^{2}-x=-1$. cioè:

${\begin{array}{l}x^{2}-x=1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;\vee \;x_{2}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\text{ e}}\\x^{2}-x=-1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta <0\quad \Rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\emptyset .\end{array}}$

L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi

${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}.$

• Equazioni con valore assoluto del tipo ${\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k<0}$.

Se $k<0$ l’equazione è impossibile. In questo caso $\left|f(x)\right|=k$ è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x-7\right|=-1$. Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti

$\left\{{\begin{array}{l}{x-7\geq 0}\\{x-7=-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}}\right..$

Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.

Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|-1+3x\right|=7x+4.$

L’equazione presenta un valore assoluto al primo membro.

Tenendo conto che

$\left|-1+3x\right|={{\begin{cases}-1+3x&{\text{ se }}-1+3x\geq 0\Rightarrow x\geq {\tfrac {1}{3}}\\1-3x&{\text{ se }}-1+3x<0\Rightarrow x<{\tfrac {1}{3}}\end{cases}}{\text{,}}}$

l’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{-1+3x=7x+4}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{1-3x=7x+4}\end{array}}\right..$

Risolvendo si ha

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{4x=-5\Rightarrow x=-{\tfrac {5}{4}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{10x=-3\Rightarrow x=-{\tfrac {3}{10}}}\end{array}}\right..$

La soluzione $-{\tfrac {5}{4}}$ non è accettabile in quanto non è maggiore di ${\tfrac {1}{3}}$. Pertanto rimane la soluzione $x=-{\tfrac {3}{10}}$ (che è minore di ${\tfrac {1}{3}}.$)

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|-2x+5\right|=x-3$.

Esplicitiamo i due casi dell’argomento

$\left|-2x+5\right|={\begin{cases}-2x+5&{\text{ se }}-2x+5\geq 0\Rightarrow x\leq {\tfrac {5}{2}}\\2x-5&{\text{ se }}-2x+5<0\Rightarrow x>{\tfrac {5}{2}}\end{cases}}.$

L’equazione si trasforma quindi nell’unione dei due sistemi:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-2x+5=x-3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{2x-5=x-3}\end{array}}\right..$

Risolviamo ciascun sistema

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-3x=-8\Rightarrow x={\tfrac {8}{3}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{x=2}\end{array}}\right.$

ognuno dei quali risulta impossibile, cioè ${\text{I.S.}}_{1}=\emptyset$ e ${\text{I.S.}}_{2}=\emptyset$.

Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset \cup \emptyset =\emptyset$: l’equazione è impossibile.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|2x-1\right|=x+2$.

L’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{2x-1\geq 0}\\{2x-1=x+2}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{2x-1<0}\\{-2x+1=x+2}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{2}}}\\{x=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{x=-{\tfrac {1}{2}}}\end{array}}\right..$

Quindi le soluzioni sono $x=3$ e $x=-{\tfrac {1}{2}}.$

Equazioni con più espressioni in valore assoluto

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|2x-3\right|-\left|1-2x\right|+x=4$.

L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

Si presentano tre casi:

• Caso I: $\left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{-(2x-3)-(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
• Caso II: $\left\{{\begin{array}{l}{{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}}\\{-(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
• Caso III: $\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {3}{2}}}\\{(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$.

In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.

Caso I:

$\left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\-(2x-3)-(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\x=2\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$

Il sistema è impossibile in quanto $2$ non è minore di ${\tfrac {1}{2}}$.

Caso II:

$\left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\-(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\x=0\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$

Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo $\left[{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {3}{2}}\right).$

Caso III:

$\left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\x=6\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$

La soluzione in questo caso è accettabile.

Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-4\right|-3x=\left|x-1\right|$.

Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:

• Caso I:

$\left\{{\begin{array}{l}{x<-2}\\{x^{2}-4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=1-{\sqrt {6}}\;\vee \;x_{2}=1+{\sqrt {6}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$

• Caso II:

$\left\{{\begin{array}{l}{-2\leq x<1}\\{-x^{2}+4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=-3\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$

• Caso III:

$\left\{{\begin{array}{l}{1\leq x<2}\\{-x^{2}+4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=-5\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{1\}.$

• Caso IV:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq 2}\\{x^{2}-4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=2-{\sqrt {7}}\;\vee \;x_{2}=2+{\sqrt {7}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{4}=\left\{2+{\sqrt {7}}\right\}.$

Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}\cup {\text{I.S.}}_{4}=\left\{1{\text{, }}2+{\sqrt {7}}\right\}$.

Procedura: Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:

1. l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo. L’equazione è del tipo $\left|f(x)\right|=k$ e si risolve studiando $f(x)=\pm k$. Se $k<0$ l’equazione è impossibile;
2. l’incognita si trova anche al di fuori del modulo. Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;
3. è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento. Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.

Disequazioni con valore assoluto

• Disequazione con valore assoluto nella forma $\left|f(x)\right|<k{\text{ con }}k>0$.

La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{f(x)\geq 0}\\{f(x)<k}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<0}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right.$

che hanno soluzioni $0\leq f(x)<k\;\vee \;-k<f(x)<0$ cioè:

$-k<f(x)<k\quad {\text{ o anche }}\quad \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<k}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right..$

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione $\left|x^{2}-1\right|<3$.

La disequazione diventa $-3<x^{2}-1<3$ oppure

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-1<3}\\{x^{2}-1>-3}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}<4}\\{x^{2}>-2}\end{array}}\right..$

La prima disequazione $x^{2}<4$ è verificata per $-2<x<2$.

La seconda è sempre verificata perché il quadrato $x^{2}$ è sempre maggiore di un numero negativo. L’insieme soluzione della disequazione assegnata è quindi $-2<x<2.$

• Disequazione con valore assoluto nella forma $\left|f(x)\right|>k{\text{ con }}k>0$.

La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{f(x)\geq 0}\\{f(x)>k}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<0}\\{f(x)<-k}\end{array}}\right.$

che hanno soluzioni

$f(x)<-k\;\vee \;f(x)>k.$

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-4\right|>4.$

L’equazione diventa $x^{2}-4<-4\;\vee \;x^{2}-4>4$. Spostando $-4$ al secondo membro otteniamo $x^{2}<0\;\vee \;x^{2}>8.$

La prima disequazione $x^{2}<0$ non ha soluzioni in quanto il quadrato $x^{2}$ non può essere minore di 0. La seconda ha per soluzioni $x<-2{\sqrt {2}}\;\vee \;x>2{\sqrt {2}}.$

Disequazioni in cui l’incognita si trova anche fuori dal modulo

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione $\left|x^{2}-x\right|<2x^{2}+3x-1.$

Studiamo il segno dell’argomento del modulo

$x^{2}-x\geq 0\quad \Rightarrow \quad x(x-1)\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq 0\vee x\geq 1.$

La disequazione assegnata si sdoppia nell’unione di due sistemi:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}-x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{-x^{2}+x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right..$

Semplificando le disequazioni si ha:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}+4x-1>0}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{3x^{2}+2x-1>0}\end{array}}\right..$

Quindi rappresentiamo gli insiemi soluzione dei due sistemi in uno schema, così possiamo trovare agevolmente l’insieme soluzione della disequazione data.

Schema grafico per disequazioni in valore assoluto

L’insieme soluzione della disequazione data è $x<-2-{\sqrt {5}}\;\vee \;x>{\tfrac {1}{3}}.$

Disequazioni con più valori assoluti

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione $\left|x+1\right|\geq \left|x^{2}-1\right|.$

Studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:

Schema grafico per disequazioni in valore assoluto

Si presentano tre casi, quindi tre sistemi:

$\left\{{\begin{array}{l}{x<-1}\\{-(x-1)\geq x^{2}-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{-1\leq x<1}\\{x+1\geq -\left(x^{2}-1\right)}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x\geq 1}\\{x+1\geq x^{2}-1}\end{array}}\right..$

Risolviamo il primo sistema:

$\left\{{\begin{array}{l}x<-1\\x^{2}+x\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<-1\\-1\leq x\leq 0\end{array}}\right..$

In questo caso non si hanno soluzioni: ${\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$

Risolviamo il secondo sistema:

$\left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x^{2}+x\geq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x\leq -1\vee x\geq 0\end{array}}\right..$

In questo caso le soluzioni sono: $0\leq x<1\vee x\geq 0.$

Risolviamo il terzo sistema:

$\left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\x^{2}-x-2\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\-1\leq x\leq 2\end{array}}\right..$

In questo caso le soluzioni sono: $1\leq x\leq 2.$

Adesso rappresentiamo gli insiemi soluzione dei tre sistemi in uno schema, così possiamo trovare l’insieme soluzione della disequazione data.

Schema grafico per disequazioni in valore assoluto

Unendo tutte le soluzioni si ha: $x=-1\;\vee \;0\leq x\leq 2$.