Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari

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Sistemi di secondo grado[modifica]

Ricordiamo che un sistema di equazioni non è altro che l’insieme di più equazioni con le stesse incognite. L’insieme delle soluzioni è dato dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.

Definizione: Il grado di un sistema di equazioni, se le equazioni sono polinomi, è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.


Esempio: Determinare il grado dei seguenti sistemi di equazioni

  • entrambe le equazioni sono di primo grado; il sistema è di primo grado;
  • la prima equazione è di primo grado, la seconda di secondo grado; il sistema è di secondo grado;
  • entrambe le equazioni sono di secondo grado; il sistema è di quarto grado.


I sistemi di secondo grado sono dunque composti da un’equazione di secondo grado e da una di primo grado.

Sistemi di secondo grado numerici[modifica]

Esempio: Risolvere il seguente sistema

Utilizziamo il metodo di sostituzione che abbiamo già visto per i sistemi di primo grado.

  • Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado:

  • Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita. Questa equazione è detta equazione risolvente del sistema: .
  • Si sostituiscono i valori trovati per la nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della . Le coppie e , se ci sono, si dicono soluzioni del sistema.

Sistema tra ellisse e retta

quindi le soluzioni del sistema sono:

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di intersezione tra la retta rappresentata dall’equazione e la curva rappresentata dall’equazione . Con qualsiasi software che disegni funzioni inseriamo le due equazioni e otteniamo la figura a lato. La curva rappresentata dalla seconda equazione è una ellisse; i punti e , intersezione tra retta ed ellisse, corrispondono alle soluzioni del sistema.

Esempio: Risolvere il seguente sistema:

Isoliamo la dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

L’equazione risolvente del sistema ha il discriminante uguale a zero e due soluzioni reali coincidenti: . Quindi il sistema ha due soluzioni reali coincidenti

Sistema tra parabola e retta

cioè il suo insieme soluzione è costituito dalla coppia ordinata

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione e la parabola rappresentata dall’equazione . La soluzioni saranno due punti reali coincidenti. Questo punto è detto punto di tangenza tra retta e parabola.

Esempio: Risolvere il seguente sistema:

Isoliamo nell’equazione di primo grado e sostituiamola nell’equazione di secondo grado

Sistema tra circonferenza e retta

Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita e verifichiamo che è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali e . Il sistema non ha soluzioni reali e si dice impossibile.

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione e la curva rappresentata dall’equazione . Nella rappresentazione grafica ottenuta con un software che disegna funzioni le figure geometriche ottenute non hanno punti d’incontro. La curva rappresentata dalla prima equazione è una circonferenza; retta e circonferenza non hanno punti di intersezione.

Conclusione Un sistema di secondo grado, con equazione risolvente di secondo grado, rappresenta sempre l’intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva. In base al segno del discriminante dell’equazione risolvente abbiamo:

  • le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti distinti;
  • le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti coincidenti;
  • il sistema non ha soluzioni reali. Retta e curva non hanno punti in comune.
Sistemi non lineari

Se l’equazione risolvente risulta essere una equazione di primo grado o una uguaglianza vera o falsa, allora:

  • se si ottiene una uguaglianza vera, il sistema è indeterminato;
  • se si ottiene una uguaglianza falsa il sistema è impossibile;
  • se l’equazione risolvente è di primo grado determinata, da essa si ricava il valore dell’incognita e si sostituisce tale valore nell’altra equazione. Il sistema ha una sola soluzione (in questo caso non si parla di due soluzioni coincidenti, come nel caso precedente di ).

Esempio: Risolvere il sistema .

Isoliamo la dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado.

Sistema x^2-y^2=0 e x+y=0

L’equazione risolvente del sistema in questo caso è una identità (uguaglianza sempre verificata) e tutte le coppie formate da numeri opposti (la prima equazione ci vincola ad avere ) sono soluzioni del sistema: . Il sistema ha infinite coppie di numeri reali che lo soddisfano e si dice indeterminato.

La figura è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna funzioni. La curva di secondo grado è formata dalle due rette e e la seconda equazione rappresenta la retta a che si sovrappone alla precedente.

Esempio: Risolvere il sistema

Isoliamo la dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

Sistema impossibile tra iperble e retta

L’equazione risolvente del sistema non ha soluzioni, quindi il sistema è impossibile.

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna le funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta iperbole e la seconda equazione rappresenta la retta; vediamo che curva e retta non hanno punti di intersezione.

Esempio: Risolvere il sistema

Isoliamo la dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado

Sistema tra iperbole e retta con una soluzione

L’equazione risolvente del sistema in questo caso è l’equazione di primo grado , la cui soluzione è . Si sostituisce il valore trovato nell’altra equazione e troviamo la soluzione del sistema che in questo caso è unica:

quindi, l’insieme soluzione è  

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un applicativo che disegna funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta iperbole e la seconda equazione rappresenta una retta; vediamo che curva e retta hanno un solo punto di intersezione.

Sistemi di secondo grado letterali[modifica]

Esempio: Discutere e risolvere il seguente sistema: .

Si risolve come nel caso degli analoghi sistemi numerici. Bisognerà, nell’equazione risolvente, discutere per quali valore del parametro si otterranno soluzioni reali. Ricaviamo la dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda equazione:

Discutiamo l’equazione risolvente di secondo grado

Sostituiamo nella prima equazione i valori della così ricavati. Si ha:

Sistemi frazionari[modifica]

Definizione: Si dice frazionario un sistema in cui almeno una delle equazioni che lo compongono è frazionaria.


Poiché una delle equazioni è frazionaria, l’incognita compare al denominatore e per questo motivo occorre procedere alla definizione del dominio in cui si ricercano le soluzioni del sistema.

Esempio: Risolvere il seguente sistema .

Determiniamo le condizioni di esistenza di .

Trasformiamo l’equazione frazionaria nella sua forma canonica di equazione intera:

Il sistema diventa:

è l’equazione risolvente che ha soluzioni . Sostituiamo le soluzioni trovate nell’equazione di primo grado e otteniamo le soluzioni del sistema:

La soluzione non soddisfa le , quindi il sistema ha soluzione .

Sistemi in più incognite[modifica]

Quanto detto si può estendere ai sistemi di secondo grado di tre o più equazioni con altrettante incognite. Per risolvere uno di tali sistemi si cercherà, operando successive sostituzioni a partire dalle equazioni di primo grado, di ottenere un’equazione di secondo grado in una sola incognita (equazione risolvente del sistema). A partire dalle eventuali soluzioni di tale equazione, si determineranno poi le soluzioni del sistema stesso.

Esempio: Risolvere il sistema

Isoliamo dalla prima equazione, che è di primo grado, e sostituiamo nelle altre equazioni:

Ricaviamo dalla seconda equazione e la sostituiamo nelle altre:

L’equazione è l’equazione risolvente del sistema; le sue soluzioni sono .

Sostituiamo i valori trovati per la nelle altre equazioni per trovare i valori corrispondenti della e della :

Sistemi simmetrici[modifica]

Definizione: Un sistema di due equazioni in due incognite si dice simmetrico se rimane lo stesso scambiando tra loro le incognite.


Per esempio, se nel sistema

scambiamo la con la , otteniamo

che è identico al precedente.

Risolviamo il sistema, le soluzioni sono

e come si può notare e vengono scambiate anche nella soluzione.

In generale, se il sistema è simmetrico, trovata una coppia soluzione l’altra è .

Sistema simmetrico fondamentale[modifica]

Il sistema simmetrico fondamentale è del tipo e risolve il problema di trovare due numeri, nota la loro somma e il loro prodotto.

Ricordiamo che nell’equazione di secondo grado , la somma delle radici è , mentre il prodotto è . Pertanto, basta risolvere l’equazione , detta equazione risolvente.

In base al segno del discriminante abbiamo:

  • : l’equazione risolvente ha due soluzioni distinte e , le soluzioni del sistema sono:

  • : l’equazione risolvente ha radici coincidenti , le soluzioni del sistema sono:

  • : l’equazione non ammette soluzioni reali. Il sistema è impossibile.
Esempio:
Sistema tra iperble e retta con due soluzioni

Risolvere il seguente sistema .

L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono: .

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione interseca l’iperbole equilatera nei due punti e .

Esempio:

Sistema impossibile tra iperbole e retta

Risolvere il seguente sistema .

L’equazione risolvente è

che ha il discriminante negativo e dunque non ha soluzioni reali. Il sistema è impossibile.

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione non interseca mai l’iperbole equilatera .

Esempio:
Sistema tra iperble e retta con una soluzione

Risolvere il seguente sistema

L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono: .

Il sistema ha due soluzioni coincidenti:

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione è tangente all’iperbole equilatera nel punto .

Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale[modifica]

In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici del tipo visto nella sezione precedente.

Esempio: Risolvere il sistema

È possibile trasformare il sistema in un sistema simmetrico fondamentale. Infatti, ricordando l’identità , il sistema può essere riscritto come:

Posto   e    il sistema diventa

Esempio: Risolvere il sistema

Ricordando l’identità , il sistema può essere riscritto come:

L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono

Le soluzioni del sistema sono:

Esempio: Risolvere il sistema

Dividendo per la prima equazione, per la seconda e ricordando l’identità si ha:

L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono: .

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:

Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici[modifica]

Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono risolvere anche con la procedura solita di sostituzione per i sistemi di secondo grado.

Esempio: Risolvere il sistema

Mediante la sostituzione otteniamo che è un sistema simmetrico fondamentale.

L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono , pertanto il sistema ha le soluzioni

Dall’uguaglianza otteniamo le soluzioni del sistema dato

Esempio: Risolvere il sistema

Mediante la sostituzione e da cui e otteniamo

che è un sistema simmetrico fondamentale.

Risolviamo il sistema simmetrico con la procedura nota. L’equazione risolvente è le cui soluzioni sono ; pertanto il sistema ha le soluzioni:

Dalle sostituzioni e otteniamo le soluzioni del sistema iniziale


Procedura di sostituzione  Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamola nell’altra equazione

Risolviamo l’equazione avente come soluzioni . Sostituiamo i valori trovati e ricaviamo i valori della

Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo[modifica]

Introduciamo le seguenti trasformazioni dette formule di Waring,[1] dal nome del matematico che le ha formulate per primo. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come somma delle variabili e il loro prodotto, le seguenti sono le prime formule fino alla quinta potenza.

  • ;
  • ;
  • ;
  • .

Esempio: Risolvere il sistema

Applicando l’identità , il sistema può essere riscritto come:

Da cui l’equazione risolvente con e . Le soluzioni del sistema sono quindi:

.

Esempio: Risolvere il sistema

Ricordando l’identità , il sistema può essere riscritto come:

Introduciamo l’incognita ausiliaria . L’equazione diventa che ha come soluzioni .

Il sistema assegnato è equivalente all’unione di due sistemi

e dunque il suo insieme soluzione si ottiene dall’unione dell’insieme soluzione dei due sistemi 

Il primo sistema ha equazione risolvente con radici

e quindi il sistema ha soluzioni


Il secondo sistema ha equazione risolvente , che ha e quindi insieme soluzione vuoto. Pertanto anche il sistema non ha soluzioni reali, quindi . L’insieme soluzione del sistema assegnato è dunque .

Sistemi omogenei di quarto grado[modifica]

Definizione: Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l’eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado.


I sistemi omogenei di quarto grado sono quindi nella forma:


Primo caso.

Il sistema si presenta nella forma Un sistema di questo tipo ha sempre almeno la soluzione nulla .

Per trovare le altre soluzioni del sistema poniamo e sostituendo abbiamo:

Supponendo , cioè , possiamo dividere le due equazioni per , otteniamo così due equazioni nell’incognita che possiamo risolvere. Se le due equazioni ammettono qualche soluzione comune allora il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono del tipo e , dove è la soluzione comune di cui si è detto prima.

Esempio: Risolvere il seguente sistema

Applicando la sostituzione , il sistema diventa

Dividendo per otteniamo

La prima equazione ha radici   e  , mentre la seconda equazione ha radici   e  . Le due equazioni hanno una radice in comune

Pertanto, oltre alla soluzione , il sistema ammette infinite soluzioni che possono essere scritte nella forma con .


Secondo caso.

Il sistema si presenta nella forma

Ponendo si ha .

Dividendo per la prima equazione () si ha

Si risolve la prima equazione nell’incognita ; si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di e di seguito i valori di con .

Esempio: Risolvere il sistema

Sostituendo il sistema diventa

La prima equazione ha radici e .

Sostituendo nella seconda equazione si ha e sapendo che si ottengono le coppie

Sostituendo si ha e sapendo che si ottengono le coppie

L’insieme soluzione del sistema è quindi


Terzo caso.

Il sistema si presenta nella forma

Ponendo si ha

Dividendo membro a membro le due equazioni, sotto la condizione , otteniamo

che è una equazione di secondo grado nell’incognita

Se l’equazione ha come soluzioni e dobbiamo poi risolvere i sistemi

Esempio: Risolvere il sistema

Sostituendo il sistema diventa

Dividendo membro a membro con la condizione , cioè , e , si ha , da cui l’equazione con radici

A questo punto dobbiamo risolvere i due sistemi:

Il primo sistema è impossibile, il secondo ha soluzioni

Quindi l’insieme soluzione del sistema è .

Metodo di addizione[modifica]

In alcuni casi è utile applicare questo metodo per eliminare velocemente i termini di secondo grado.

Esempio: Risolvere il sistema

Sottraendo membro a membro si ottiene l’equazione di primo grado

Il sistema può allora essere trasformato nel seguente:

che può essere risolto con il metodo di sostituzione.

Sostituzione delle variabili[modifica]

In alcuni casi, sostituendo in modo opportuno le variabili, il sistema può essere risolto più facilmente.

Esempio: Risolvere il sistema

Sostituendo  e  il sistema diventa

Quest’ultimo può essere risolto con il metodo di sostituzione; si ottengono le soluzioni:

Ricordando le sostituzioni si ottengono le soluzioni del sistema:

Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo[modifica]

Riprendiamo un problema già discusso. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico.

Problema:  Il trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di diametro di misura ; determinare le misure dei lati del trapezio sapendo che il perimetro è

Trapezio inscritto inuna semicirconferenza

Dati

Obiettivo;

Dati impliciti:

Incognite;

Vincoli:

Relazioni tra dati e incognite

Soluzioni:

Verifica: Entrambe le soluzioni sono accettabili.

La risoluzione del problema si basa sull’equazione di primo grado che definisce il perimetro, sulla congruenza dei segmenti e facilmente dimostrabile in quanto stessa distanza tra due rette parallele, l’applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli e , rettangoli per costruzione. Naturalmente tutte le informazioni ausiliare vanno dimostrate, ma data la loro facilità le lasciamo al lettore.

Importante è impostare le condizioni sulle incognite che devono essere maggiori di ma anche perché il trapezio non diventi un triangolo () e perché la base minore sia realmente minore (). L’ultimo passo consiste nella verifica delle soluzioni, che nel nostro caso sono entrambe accettabili. Si hanno dunque due trapezi inscritti in quella semicirconferenza che avranno il perimetro di .


Problema:  L’azienda Profit intende fare una ristrutturazione riducendo il numero degli operai. Oggi spende per essi (tutti con lo stesso stipendio) €.  al giorno. Se si licenziassero 5 dipendenti e si riducesse lo stipendio di €.  al giorno si avrebbe un risparmio giornaliero di €. . Quanti sono gli operai attualmente occupati nell’azienda?

Dati

Obiettivo: numero operai occupati prima della ristrutturazione

Incognite

Vincoli

Altre Informazioni

Relazioni tra dati e incognite

Soluzioni

Verifica: Entrambe le soluzioni sono accettabili.

Naturalmente c’è una grande differenza tra percepire di salario o , come avere impiegati o operai. Il problema va meglio definito. Sarebbe sufficiente un vincolo che ci dice qual è la paga minima giornaliera di un operaio.


Problema:  Un numero è composto da tre cifre. Il prodotto delle tre cifre è . Se si scambia la cifra delle decine con quella delle centinaia si ottiene un numero che supera di . Se si scambia la cifra della unità con quella delle centinaia si ottiene un numero minore di rispetto al numero . Trovare .

Dati

Obiettivo: trovare il numero

Incognite

Vincoli.

Altre Informazioni

Relazioni tra dati e incognite

Soluzioni.

Verifica: La soluzione soddisfa le condizioni, il numero cercato è .


Esercizi del capitolo[modifica]

  1. Edward Waring, matematico inglese (1736 – 1798).