Calcolo differenziale/Funzioni su R

Differenziale di una funzione reale di variabile reale

Si consideri una generica funzione f definita da $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$. Si chiama differenza (o incremento) della funzione f fra x₀ e x, e si indica con Δf, la differenza fra i valori che la funzione assume nei punti x₀ e x. Tale differenza è a sua volta una funzione di due argomenti, che possono essere i due valori x₀ e x dell'argomento, oppure uno dei punti, ad esempio x₀, unitamente alla differenza fra x₀ e x, che viene solitamente indicata con $\Delta x$. Dunque si ha:

$\Delta f(x_{0},\Delta x):=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\;$

I due argomenti di questa funzione possono essere studiati separatamente, considerando che una funzione di due argomenti può essere associata per mezzo di una applicazione parziale ad un funzionale che si applica al primo argomento restituendo una funzione che a sua volta si applica al secondo argomento. In questo caso Δf può essere pensato come un funzionale che calcolato nel punto x₀ restituisce una funzione Δf di Δx tale che:

$\Delta f(x_{0}):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$\Delta f(x_{0}):\Delta x\mapsto \Delta f(x_{0})(\Delta x):=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$

Se la funzione f è continua, allora f(x₀ + Δ x) tende a f(x₀) quando Δx tende a zero. Ma allora la funzione Δf(x₀) tende a 0 quando Δx tende a 0, per cui tale funzione è un infinitesimo. In quanto tale può essere approssimata con altre funzioni che risultino ad essa equivalenti in quanto infinitesimi. In generale due funzioni infinitesime f e g in un punto x₀ sono equivalenti se il limite del loro rapporto tende a 1, il che è come dire che la loro differenza è un infinitesimo di ordine superiore a quello di entrambe, cioè una funzione che tende a 0 più rapidamente di f e g. Nel caso della funzione Δf(x₀) per ottenere il differenziale occorre trovare una funzione lineare che sia equivalente alla Δf(x₀) a meno di un infinitesimo di ordine superiore a Δx cioè:

$\Delta f(x_{0})(\Delta x)=df(x_{0})(\Delta x)+o(|\Delta x|)\;$

Riduzione del differenziale a un prodotto: la derivata

Una funzione lineare da $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$ può sempre essere espressa come il prodotto di una costante per l'argomento. Dunque il differenziale nel punto x₀ può essere espresso come il prodotto di una costante (che dipenderà da x₀) per Δx:

$df(x_{0})(\Delta x)=a(x_{0})\Delta x\;$

Si vede subito che questa costante è il valore della derivata di f in x₀, cioè Df(x₀) infatti si ha:

$a(x_{0})={\frac {\Delta f(x_{0})(\Delta x)-o(|\Delta x|)}{\Delta x}}={\frac {(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))-o(|\Delta x|)}{\Delta x}}$

e passando al limite per Δx che tende a 0 al secondo membro si ottiene appunto la definizione della derivata in un punto. Si ha dunque:

$df(x_{0})(\Delta x)=Df(x_{0})\Delta x\;$

Questa relazione in seguito potrà essere utilizzata come definizione per generalizzare il concetto di derivata a partire dalla generalizzazione del concetto di differenziale; in questa relazione infatti non si fa uso di rapporti, ma solo di prodotti.

Relazione funzionale, operatori funzionali e notazione di Leibniz

Fino a qui si è scritta esplicitamente l'espressione del differenziale calcolato in tutti i suoi argomenti, cioè df(x₀)(Δx), ma non si è scritta una espressione per la funzione df(x₀) di per sé. Ciò può essere ottenuto immediatamente usando la funzione identità i, cioè la funzione tale che i(x)=x, e quindi, in particolare, i(Δx)=Δx. Usando tale funzione si ha:

$df(x_{0})(\Delta x)=Df(x_{0})i(\Delta x)\;$

da cui si ricava una relazione puramente funzionale:

$df(x_{0})=Df(x_{0})i\;$

Questa relazione può essere scritta in una forma più suggestiva e più vicina alla notazione originaria usata da Leibniz per il calcolo infinitesimale se si osserva che il differenziale della funzione identità è la funzione identità stessa. Si ha infatti: infatti:

$\Delta i(x_{0})(\Delta x):=i(x_{0}+\Delta x)-i(x_{0})=\Delta x\;$

e siccome la differenza della funzione i è lineare nel suo argomento essa coincide anche con il differenziale:

$di(x_{0})(\Delta x)=\Delta x=i(\Delta x)\;$

da cui si ricava la seguente relazione funzionale:

$di(x_{0})=i\;$

Dal momento che il differenziale della funzione identità di fatto non dipende da x₀ e che i(x)=x, si può usare la variabile per indicare la funzione e scrivere dx al posto di di(x₀), sicché nella espressione del differenziale si può sostituire dx alla funzione i:

$df(x_{0})=Df(x_{0})dx\;$

che - come anticipato - è formalmente uguale alle relazioni espresse dalla notazione infinitesimale di Leibniz, anche se ora né df(x₀) né dx vanno intesi come "infinitesimi", ma come funzioni (e in particolare dx è semplicemente la funzione identità utilizzata per eliminare la dipendenza dall'argomento nella espressione esplicita di df(x₀)(Δx)).

Dal momento che le due funzioni $df(x_{0})$ e dx sono proporzionali a meno della costante $Df(x_{0})$, tale costante può anche essere espressa formalmente come "rapporto" della due funzioni:

$Df(x_{0})={\frac {df(x_{0})}{dx}}\;$

Infine se si considera anche il punto $x_{0}$ variabile, allora df(x) e Df(x) sono rispettivamente un funzionale e una funzione con dominio in $\mathbb {R}$. Pertanto d e D possono anche essere considerati degli operatori funzionali che trasformano la funzione f, rispettivamente, nel funzionale df e nella funzione Df:

$d:\{\phi |\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}\to \{\Phi |\Phi :\mathbb {R} \to \{\phi |\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}\}$

$d:f\mapsto df$

e

$D:\{\phi |\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}\to \{\phi |\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$

$D:f\mapsto Df$

Usando la notazione di Leibniz si può riscrivere formalmente l'operatore derivata D come "rapporto" fra l'operatore d e il funzionale dx:

$Df={\frac {d}{dx}}f={\frac {df}{dx}}\;$

Si osservi che quando d/dx venga inteso come operatore funzionale prima esso va applicato alla funzione f e poi la funzione risultante va calcolata in un punto x. Invece se la derivata Df calcolata in un punto x viene espressa formalmente come rapporto delle funzioni df(x) e dx allora prima bisogna calcolare il funzionale df nel punto x e poi fare il "rapporto" delle due funzioni:

$(Df)(x)=\left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)={\frac {df}{dx}}(x)={\frac {(df)(x)}{dx}}\;$

Funzioni vettoriali di variabili reali

Per le funzioni vettoriali di una variabile reale le definizioni e anche le principali relazioni restano sostanzialmente immutate.

Per definizione il differenziale è la parte lineare dell'incremento della funzione nell'intorno di un punto fissato:

$\Delta \mathbf {f} (x_{0})(\Delta x)=d\mathbf {f} (x_{0})(\Delta x)+o(|\Delta x|)\;$

Inoltre la derivata può essere definita come per le funzioni reali, con l'unica avvertenza di usare la norma dello spazio vettoriale per calcolare i limiti o definire gli sviluppi asintotici. Si dimostra che:

$d\mathbf {f} (x_{0})(\Delta x)=D\mathbf {f} (x_{0})\Delta x\;$