Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Jump to navigation Jump to search

Differenziale k-mo[modifica]

La definizione di differenziale k-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine k calcolato nel punto è una funzione k-lineare nei suoi argomenti e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Derivata k-ma[modifica]

Il differenziale k-mo ha come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

D'altra parte può essere mappato in per mezzo del prodotto tensoriale ed esiste una corrispondenza "naturale" fra le applicazioni lineari su e quelle su .

Funzioni scalari[modifica]

Nel caso delle funzioni scalari tali applicazioni sono a valori in K, per cui esse appartengono al duale di e sono associate ad altrettanti tensori di tipo (0, k) tali che l'applicazione delle funzioni lineari al tensore di tipo (k, 0) costituito da si riduce ad un prodotto scalare in . Il tensore di tipo (0, k) che fa da "coefficiente" di è, per definizione, la derivata k-ma della funzione:

Funzioni vettoriali[modifica]

Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni sono a valori in V, cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, k) che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (k, 1). I primi tensori, quelli di tipo (1, k), sono - per definizione - le derivate della funzione.

Ci sono diversi modi di rendere questa relazione:

  • si scrive il prodotto scalare di con un generico covettore ω:
  • oppure si scrive come prodotto scalare parziale che "aspetta" un covettore per dare uno scalare:
  • oppure si definisce una "contrazione" fra il tensore (1,k) e il tensore (k,0) tale che per ogni ω si abbia:
dopodiché si può porre:

Derivata direzionale k-ma[modifica]

La derivata direzionale k-ma, essendo riconducibile alla derivata di una funzione di una variabile scalare, è definita in modo ordinario:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazioni funzionali e notazione di Leibniz[modifica]

Utilizzando la funzione identità scritta come , si può definire la funzione k-lineare tale che:

per cui si ha:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Si può allora recuperare, almeno formalmente, la notazione di Leibniz, scrivendo la derivata come "rapporto" fra differenziali:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

dove l'espressione:

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

Operatori differenziali[modifica]

Il fatto che il differenziale e la derivata direzionale siano due operatori "scalari" si rivela particolarmente utile non solo perché essi - come si è visto - si applicano nello stesso modo sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali (agendo indipendentemente su ogni componente), ma anche perché le loro "potenze" si scrivono come potenze ordinarie di uno scalre. Più precisamente si ha:

Di qui segue che:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

e poiché nel differenziale il "coefficiente" di è la derivata, si ha:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Sviluppo in serie[modifica]

Termini multilineari[modifica]

La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni k-lineari simmetriche avente come argomento la k-pla :

funzioni scalari
funzioni vettoriali

dove le funzioni k-lineari hanno come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

Analogamente a quanto si è fatto con i differenziali, il termine k-mo si può scrivere come:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Lo sviluppo in serie della funzione può dunque essere riscritto nel modo seguente:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazioni fra i termini dello sviluppo e le derivate[modifica]

Lo sviluppo in serie della funzione e della funzione , essendo queste definite su K, si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare :

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando argomento di f:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Dal confronto si vede che:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

d'altra parte si ha anche:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

da cui segue che

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazione fra i termini dello sviluppo e i differenziali[modifica]

Essendo le derivate i "coefficienti" del differenziale, la relazione fra il differenziale k-mo e il k-mo termine dello sviluppo è analoga a quella che intercorre fra la k-ma derivata e il "coefficiente" del k-mo termine:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Usando l'operatore differenziale risulta particolarmente agevole esprimere il k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali