Meccanica dei fluidi/Conseguenze della legge di Stevino

La legge di Stevino ha delle conseguenze, non immediate, di importanza rilevante per il loro utilizzo nella vita di tutti i giorni. Ne tratteremo tre in questo modulo.

Vasi comunicanti

Consideriamo un liquido perfetto omogeneo, ovvero con $\rho ={\text{ cost}}$ in quiete. Un sistema di vasi comunicanti prevede due contenitori aperti verso l'alto e collegati tra loro con un tubicino. Non interessa che le basi dei contenitori si trovino alla stessa altezza, così come non è importante che il tubo sia piano o in diagonale. Sulle due aperture, infatti, agisce la stessa pressione atmosferica, quindi il liquido raggiunge la stessa quota in entrambi i contenitori.

Legge di Pascal

La legge di Pascal afferma che in un liquido omogeneo in quiete, la variazione di pressione prodotta in un punto del fluido si trasmette inalterata a tutti gli altri punti del fluido.

Per dimostrarla, prendiamo un recipiente con del fluido e analizziamo due punti, un punto A A posto sulla superficie del fluido e un punto $B$ interno al fluido. Avremo quindi che $z_{b}<z_{A}$. Per tale, la relazione che lega le due pressioni è $P_{B}=P_{A}-\rho gh$, dove $h=z_{B}-z_{A}$.

Trasmettiamo una variazione di pressione nel punto $A$; in esso sarà allora presente una pressione $P_{A}'=P_{A}+\Delta P_{A}$. Calcoliamo la nuova pressione nel punto $B$:

$P_{B}'=P_{a}'-\rho gh=(P_{A}+\Delta P_{A})-\rho gh=P_{B}+\Delta P_{A}$

È quindi dimostrata la legge di Pascal.

Martinetto idraulico

Il martinetto idraulico è uno strumento largamente utilizzato nella vita quotidiana: il suo utilizzo pratico è quello di permettere di sollevare corpi dal peso anche molto elevato applicando una forza di molto inferiore al peso del corpo. Un esempio di applicazione è quando il meccanico solleva un'automobile per ripararla.

Consideriamo un fluido incomprimibile e un sistema di vasi comunicanti; la caratteristica fondamentale di questo sistema è che le aperture verso l'alto hanno sezioni molto diverse tra loro, che chiameremo $A$ e $a$, con $a<<A$. Sulle due aperture vengono posti dei piani che chiudono il fluido.

Sulla sezione grande A A agisce una forza $F_{A}$, in cui sono comprese sia la forza peso del corpo che la pressione atmosferica. Sulla sezione minore agisce invece una forza $f_{a}$. Le due sezioni si troveranno ad altezze nettamente differenti. Le due pressioni devo essere bilanciate, quindi avremo che:

$P_{0}={\frac {F_{A}}{A}}+\rho gh_{1}={\frac {f_{a}}{a}}+\rho gh_{2}$

Da cui otteniamo:

${\frac {f_{a}}{a}}={\frac {F_{A}}{A}}+\rho g(h_{1}-h_{2})$

Osserviamo il fattore $\rho g(h_{1}-h_{2})\cdot A$. Questo rappresenta l'ipotetico peso di fluido che si troverebbe sulla sezione $A$ e compreso tra le altezze $h_{1}$ e $h_{2}$. Questo fattore è di molto minore della forza che esercita il corpo sul fluido: infatti il corpo abbassa il piano e affonderebbe facilmente nel fluido, per cui i pesi sono nettamente differenti. Possiamo quindi trascurare questo fattore nella precedente espressione, ottenendo:

$f_{a}={\frac {a}{A}}F_{A}$

Dato il rapporto ${\frac {a}{A}}<<1m$ avremo che la forza necessaria ad alzare il corpo sarà molto minore del peso del corpo stesso. È però importante sapere che il lavoro compiuto non diminuisce, a diminuire è solo la forza impiegata. Per poter eguagliare il lavoro della forza peso, quindi, la forza minore dovrebbe compiere uno spostamento molto grande; nella realtà ciò è possibile grazie a un sistema di entrata e uscita del fluido che permette alla leva su cui si preme col piede di risalire senza che il corpo scenda: in questo modo, abbassando più e più volte la leva, si riesce a sollevare l'auto.