Consideriamo un volumetto
; esso avrà una massa infinitesima
, che sarà uguale a:
Dove
è la densità del fluido, che in questo caso considereremo uniforme. Sul volumetto agiranno quindi le seguenti forze:
Infatti, le uniche forze di volume agenti sono le forze peso delle particelle, che quindi si sommano nella forza peso complessiva del volumetto, applicata al centro di massa, e la forza di superficie corrisponde alla pressione del fluido. Considero un sistema di riferimento cartesiano, dove sia l'asse
la quota, a tre assi esterno al fluido. Poiché esso è in quiete, avremo che:
Consideriamo un volumetto cubico. Analizziamo le due facce perpendicolare all'asse
e le forze che agiscono su di esse. Le uniche forze agenti sono le forze di superficie, applicate al centro geometrico delle due superfici. I due centri avranno coordinate
e
. Le due forze, dirette verso il centro del volumetto, saranno quindi:
Poiché la risultante delle forze deve essere nulla, avremo che
, quindi (si ricorda che le forze hanno verso opposto):
Da cui
, ovvero la pressione resta costante lungo l'asse delle
. Lo stesso ragionamento può essere fatto anche per l'asse delle
, da cui concludiamo che:
Che è un altro modo per dire che i punti con la stessa quota hanno la stessa pressione.
Cosa accade invece lungo l'asse
? In questo caso non agiscono solo le forze di superficie lungo le due facce, ma anche la forza di volume, corrispondente alla forza peso, è esercitata perpendicolarmente su di esse. Ricordando che
e che
, avremo quindi che:
Sviluppo in serie il termine
, che diventa
, sostituisco nell'espressione precedente ottenendo:
Da cui la conclusione:
Ovvero la pressione sull'asse
non è costante. Consideriamo allora un fluido in quiete in un recipiente, e prendiamo due punti
e
a diversa quota, con
. Calcoliamo la differenza di pressione:
Chiamata
la differenza di quota, possiamo riscrivere la precedente espressione come segue:
Questa è conosciuta anche come legge di Stevino e afferma che, in liquido in quiete, la pressione aumenta con l'aumentare della profondità.