Meccanica dei fluidi/Legge di Stevino

Consideriamo un volumetto $dV$; esso avrà una massa infinitesima $dm$, che sarà uguale a:

$dm=\rho dV$

Dove $\rho$ è la densità del fluido, che in questo caso considereremo uniforme. Sul volumetto agiranno quindi le seguenti forze:

${\begin{aligned}&d{\vec {F}}^{(s)}=PdS\\&d{\vec {F}}^{(v)}={\vec {g}}dm={\vec {g}}\rho dV\end{aligned}}$

Infatti, le uniche forze di volume agenti sono le forze peso delle particelle, che quindi si sommano nella forza peso complessiva del volumetto, applicata al centro di massa, e la forza di superficie corrisponde alla pressione del fluido. Considero un sistema di riferimento cartesiano, dove sia l'asse $z$ la quota, a tre assi esterno al fluido. Poiché esso è in quiete, avremo che:

${\begin{aligned}{\vec {F}}^{\text{tot}}&=0\\d{\vec {F}}^{(s)}+d{\vec {F}}^{(v)}&=0\end{aligned}}$

Consideriamo un volumetto cubico. Analizziamo le due facce perpendicolare all'asse $y$ e le forze che agiscono su di esse. Le uniche forze agenti sono le forze di superficie, applicate al centro geometrico delle due superfici. I due centri avranno coordinate $(x,y,z)$ e $(x,y+dy,z)$. Le due forze, dirette verso il centro del volumetto, saranno quindi:

${\begin{aligned}&d{\vec {F}}_{1}^{s}=P(x,y,z)dS\\&d{\vec {F}}_{2}^{s}=P(x,y+dy,z)dS\end{aligned}}$

Poiché la risultante delle forze deve essere nulla, avremo che $d{\vec {F}}_{1}^{s}+d{\vec {F}}_{2}^{s}=0$, quindi (si ricorda che le forze hanno verso opposto):

$P(x,y,z)dS-P(x,y+dy,z)dS=0$

Da cui $P(x,y,z)=P(x,y+dy,z)$, ovvero la pressione resta costante lungo l'asse delle $y$. Lo stesso ragionamento può essere fatto anche per l'asse delle $x$, da cui concludiamo che:

${\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=0$

Che è un altro modo per dire che i punti con la stessa quota hanno la stessa pressione.

Cosa accade invece lungo l'asse $z$? In questo caso non agiscono solo le forze di superficie lungo le due facce, ma anche la forza di volume, corrispondente alla forza peso, è esercitata perpendicolarmente su di esse. Ricordando che $dS=dx\,dy$ e che $dV=dx\,dy\,dz$, avremo quindi che:

${\begin{aligned}&P(x,y,z)dx\,dy-P(x,y,z+dz)dx\,dy-g\rho dx\,dy\,dz=0\\&\left[P(x,y,z)-P(x,y,z+dz)\right]=g\rho dz\end{aligned}}$

Sviluppo in serie il termine $P(x,y,z+dz)$, che diventa $P(x,y,z)+{\frac {\partial P}{\partial z}}dz$, sostituisco nell'espressione precedente ottenendo:

$-{\frac {\partial P}{\partial z}}dz=g\rho dz$

Da cui la conclusione:

${\frac {\partial P}{\partial z}}=-g\rho$

Ovvero la pressione sull'asse $z$ non è costante. Consideriamo allora un fluido in quiete in un recipiente, e prendiamo due punti $A$ e $B$ a diversa quota, con $z_{B}>z_{A}$. Calcoliamo la differenza di pressione:

$P_{B}-P_{A}=\int _{A}^{B}dP=\int _{A}^{B}{\frac {\partial P}{\partial z}}dz=-\int _{A}^{B}(g\rho )dz=-\rho g(z_{B}-z_{A})$

Chiamata $z_{B}-z_{A}=h$ la differenza di quota, possiamo riscrivere la precedente espressione come segue:

$P_{B}=P_{A}-\rho gh$

Questa è conosciuta anche come legge di Stevino e afferma che, in liquido in quiete, la pressione aumenta con l'aumentare della profondità.