Meccanica dei fluidi/Fluidi in moto

Lo studio del moto di un fluido può rivelarsi difficile, tant'è vero che resta una delle branche della fisica più complicate, nonostante negli anni siano sorte altre branche concettualmente molto complesse. Poiché un fluido è, in realtà, un sistema microscopicamente discreto, lo studio del moto delle singole particelle richiede conoscenze molto approfondite di matematica e di meccanica statistica. Per tale motivo, tratteremo qui i fluidi come se fossero sistemi continui. In generale, esistono due approcci per studiare i fluidi in moto:

• approccio lagrangiano, in cui si studia il moto di un determinato volumetto di fluido;
• approccio euleriano: si considera una posizione fissa e si determinano le variabili del fluido in quella posizione al variare del tempo.

In questo corso useremo l'approccio euleriano; sceglieremo quindi una posizione fissa e, al variare del tempo, studieremo le variabili del moto che descrive il fluido. È quindi giusto parlare di una velocità che, oltre al tempo, sia anche funzione della posizione.

Definizione

Definiamo

${\vec {v}}(t,\,{\vec {r}})$

la velocità del fluido quando passa nella posizione ${\vec {r}}$ al tempo $t$.

Prima di studiare il moto di un fluido, diamo delle definizioni preliminari.

Definizione

Le linee di flusso sono delle curve che, in ogni istante e in ogni punto, hanno come tangente il vettore velocità che il fluido ha in quel punto e in quell'istante.

Le linee di flusso, che possono chiamarsi anche campo di velocità, descrivono il moto del fluido.

È bene precisare che un elemento di fluido non segue necessariamente le linee di flusso: queste descrivono solo il comportamento del fluido istante per istante, non continuamente nel tempo.

È anche immediato pensare che due o più linee di flusso non possano intersecarsi: qualora lo facessero si avrebbero due o più vettori tangenti al punto in quell'istante, ma la velocità in una posizione e in un istante è una.

Quando si studia un fluido in moto, si deve tener conto anche degli sforzi di taglio. Per tutti i fluidi reali esso è presente, ma in un fluido perfetto no. In questo caso si parla di fluido non viscoso.

Definizione

Si definisce liquido perfetto un liquido incomprimibile e non viscoso.

Poiché questo corso è un'introduzione alla meccanica dei fluidi, considereremo solo fluidi in moto stazionario.

Definizione

Quando la velocità ${\vec {v}}(t,\,{\vec {r}})$ non dipende dal tempo, ma solo dalla posizione, ovvero:

${\vec {v}}(t,\,{\vec {r}})={\vec {v}}({\vec {r}})$

si parla allora di moto stazionario.

In un moto stazionario, le linee di flusso sono costanti e corrispondono alle traiettorie del fluido.

Lo studio del moto di un fluido non viene fatto su tutto il volume del fluido: spesso è utile o rilevante studiarne solo una parte, che si chiama tubo di flusso.

Definizione

Un tubo di flusso di un liquido perfetto in moto stazionario è una superficie che racchiude un insieme di linee di flusso. È una curva chiusa, così come tutte le linee che contiene.

In verde si notano le curve che generano il tubo di flusso, mentre in blu vi sono le linee di flusso.

In caso di moto stazionario, un tubo di flusso descrive efficacemente un insieme ben definito di liquido in moto. Considerata una porzione di tubo di flusso, è importante, nello studio di un moto, parlare di portata.

Definizione

Si definisce portata del tubo di flusso il volume di liquido che passa nel tubo nell'unità di tempo, ovvero:

$q={\frac {dV}{dt}}$

Poiché la quantità di massa nel tubo è sempre la stessa, in due istanti di tempo avremo due masse $dm_{1,2}$. Allora è immediato che:

${\begin{aligned}&dm_{1}=dm_{2}\\\rho &dV_{1}=\rho dV_{2}\\&dV_{1}=dV_{2}\end{aligned}}$

Da cui ricaviamo che ${\frac {dV_{1}}{dt}}={\frac {dV_{2}}{dt}}$, ovvero che la portata è costante nel tubo. Questa espressione è nota anche come legge di conservazione della massa oppure equazione di continuità.

Nel caso in cui la sezione del tubo sia perpendicolare al vettore velocità, chiameremo il tubo di flusso elementare. In questo caso, avremo che un dato volume di fluido $V$ si sposta, in un istante $dt$, di una lunghezza $dl$ nel tubo; la lunghezza può essere anche scritta $dl=v\,dt$. Poiché la velocità è perpendicolare alla sezione, avremo che:

$dV=S\,dl=Svdt\quad \Rightarrow \,q={\frac {dV}{dt}}={\frac {Svdt}{dt}}=Sv$

Che è un ulteriore modo di determinare la portata di un tubo. Poiché essa è costante, avremo che $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$, quindi se la sezione diminuisce la velocità aumenta, così come il contrario. Nel caso generale in cui la sezione non sia perpendicolare alla velocità, si considera nel calcolo solo la componente della velocità che sia normale alla sezione.

Ricordando la definizione di flusso di un vettore, ovvero $\Phi _{S}({\vec {v}})={\vec {v}}\cdot {\hat {n}}dS$, notiamo che il flusso di un fluido coincide con la sua portata.