Meccanica dei fluidi/Legge di Bernoulli

Studiamo ora una legge che leghi le varie grandezze che scrivono il moto di un fluido. Prendiamo un tubo di flusso compreso tra due superfici $A_{1}$ e $A_{2}$; le due superfici sono prese abbastanza piccole da poter trascurare la differenza di quota agli estremi delle superfici, quindi avremo che $z_{1}$ e $z_{2}$ descrivono la quota complessiva di tutte e due le superfici; però esse hanno quota diversa, quindi $z_{1}<z_{2}$.

Il fluido è in moto stazionario; nell'istante $t+dt$, esso si è spostato nel tubo, e si troverà ora compreso tra due superfici $A_{1}'$ e $A_{2}'$. Calcoliamo il lavoro compiuto dalle forze.

Le forze che agiscono sul fluido sono:

• ${\vec {F}}_{P}$, la forza peso;
• ${\vec {F}}_{1}$ e ${\vec {F}}_{2}$, le forze di pressione che il fluido esercita sulle due superfici agli estremi del tubo. Poiché il fluido è in moto, anche queste compiono lavoro.

Possiamo esprimere le due forze di pressione come:

$F_{1}=P_{1}A_{1}\quad F_{2}=P_{2}A_{2}$

La forza $F_{1}$ compirà lavoro positivo, poiché lo spostamento è concorde al verso della forza; al contrario, la forza $F_{2}$ compirà lavoro negativo, perché lo spostamento è di verso discorde con quello della forza. Possiamo calcolare il lavoro delle forze di pressione, che sarà uguale a:

$dL_{\text{pressione}}=P_{1}A_{1}dl_{1}-P_{2}A_{2}dl_{2}$

Il lavoro della forza peso sarà invece:

$dL_{\text{peso}}=-dmg(z_{2}-z_{1})=dmg(z_{1}-z_{2})$

Notiamo che il lavoro della forza peso è negativo perché c'è stato un aumento di quota. Possiamo allora scrivere il lavoro totale compiuto dal sistema:

$dL_{\text{tot}}=P_{1}A_{1}dl_{1}-P_{2}A_{2}dl_{2}+dmg(z_{1}-z_{2})$

Possiamo scrivere $dm=\rho dV$ e $dV=Adl$, avremo quindi che $\rho A_{1}dl_{1}=\rho A_{2}dl_{2}$. Possiamo scrivere tutto in funzione di ${\frac {dm}{\rho }}=A_{1}dl_{1}=A_{2}dl_{2}$. Andiamo a sostituire nell'espressione del lavoro

$dL_{\text{tot}}=dm\left[{\frac {P_{1}-P_{2}}{\rho }}+g(z_{1}-z_{2})\right]$

Adesso applico il teorema dell'energia cinetica, poiché il fluido ha velocità, quindi il lavoro totale corrisponde alla variazione di energia cinetica:

${\begin{aligned}&dL_{\text{tot}}=dK={\frac {1}{2}}dmv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}dmv_{1}^{2}\\&{\frac {P_{1}}{\rho }}+gz_{1}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}={\frac {P_{2}}{\rho }}+gz_{2}+{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}\\&P+\rho gz+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\text{ cost}}\end{aligned}}$

Questa espressione è anche conosciuta come legge di Bernoulli.

Effetto Venturi

Un caso particolare della legge di Bernoulli è il cosiddetto effetto Venturi. Consideriamo un fluido perfetto in moto stazionario in un tubo orizzontale, la cui sezione si restringa. Sappiamo che la portata si conserva, quindi:

$A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}$

Ovvero se $A_{2}<A_{1}$ avremo $v_{2}>v_{1}$. Applico la legge di Bernoulli:

$P_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=P_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}$

Se $v_{2}>v_{1}$, ne consegue allora che $P_{1}>P_{2}$. Questo fenomeno è largamente utilizzato, come ad esempio nella forma delle ali di un aeroplano: esse infatti permettono alla velocità del fluido di avere valori diversi sopra e sotto le ali, producendo una variazione di pressione che spinge l'aereo verso l'alto. Un esempio più comune è quello del foglio di carta: prendete un qualsiasi foglio di carta non rigida, tenetelo saldo davanti la bocca, poi soffiate sulla superficie verticale. Produrrete una variazione di pressione che spingerà il foglio verso l'alto.