Probabilità/Distribuzioni importanti

Distribuzione Uniforme

La distribuzione uniforme è un modello di non preferenza. Per esempio se lanciamo un dado equo numerato da $1$ a $6$, ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire, e la probabilità di ciascuno numero è ${\frac {1}{6}}$. Per analogo continuo di tale distribuzione, vi è la stessa probabilità di raccogliere qualsiasi intervallo di una determinata dimensione .Per esempio in una distribuzione uniforme da $0$ a $10$, la probabilità di estrarre un numero reale tra $1$ e $2$ è ${\frac {1}{10}}$, la stessa probabilità si avrebbe nell’estrarre un numero reale tra $5.43$ e $6.43$.

Questa semplice distribuzione costituisce la base di gran parte dello studio della probabilità. Essa rispecchia il tipo di situazione osservata lanciando un dado equo ,o lanciando una moneta. Questo rimanda intuitivamente a molti problemi standard. Un certo numero di altre distribuzioni derivano da questa distribuzione. Per esempio, mentre un qualunque lancio di un dado ha una distribuzione uniforme, se sommiamo i valori ottenuti lanciando più volte un dado, o se facciamo la loro media, non abbiamo una distribuzione uniforme, ma una distribuzione gaussiana, di cui parleremo più avanti.

La distribuzione uniforme nell'intervallo $[a,b]$ è una distribuzione continua con densità di probabilità $f$ data da:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{con: }}a<x<b,\\\\0&{\mbox{con: }}\ x<a\ \ {\mbox{ ∨ }}\ x>b,\\\\\mathrm {vedi} \ \mathrm {sotto} &\ \ \ {\mbox{con: }}x=a{\mbox{ ∨ }}x=b.\end{matrix}}\right.$

Il valore della densità di $a$ o $b$ può essere 0,${\frac {1}{b-a}}$, o qualsiasi altro valore finito senza cambiare le probabilità finite. Per una discussione più completa di questo punto e per ulteriori informazioni sulla distribuzione uniforme, vedere l'articolo Distribuzione continua uniforme su Wikipedia.

Una variabile casuale $X$ con questa distribuzione è chiamata numero casuale tra $a$ e $b$.

Distribuzione Binomiale

Molti esperimenti casuali sono della tipologia in cui si conta il numero di successi in una serie di un numero fisso di prove indipendenti ripetute, le quali possono risultare sia un successo che un fallimento . La distribuzione del numero di successi è una distribuzione binomiale. È una distribuzione di probabilità discreta con due parametri; tradizionalmente si indica con $n$, il numero di prove, e con $p$, la probabilità di successo.

Un esempio ben noto di un tale esperimento è il lancio ripetuto di una moneta dove viene richiesto di contare il numero di volte che esce "testa".

Si dice che la variabile casuale $X$ segue la distribuzione binomiale con i parametri $n$ e $p$, e si scrive $X~B(n,p)$ se la probabilità di ottenere esattamente $k$ successi è dato dalla funzione di massa:

$p(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

per $k=0,1,2,\dots ,n$ e dove

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

è il coefficiente binomiale.

La formula è facilmente deducibile dal fatto che da $n$ prove, $p$ prove dovrebbero aver successo, avendo probabilità $p^{k}$ e $n-k$ fallimenti, con probabilità $(1-p)^{n-k}$. Questo da un risultato specifico di una probabilità di $p^{k}(1-p)^{n-k}$. Un risultato con esattamente $k$ successi, tuttavia, si può verificare in un numero di ordini specifici, ovvero si deve scegliere $k$ degli $n$ risultati per essere corretto. Questo porta al coefficiente binomiale come fattore da moltiplicare.

Per più informazioni consultare l'articolo Distribuzione binomiale su Wikipedia.

La Distribuzione di Poisson

La Distribuzione di Poisson con parametro $\lambda >0\,$ è una distribuzione di probabilità discreta con funzione di massa data da:

$p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$

dove $k$ è un numero intero positivo.

La distribuzione di Poisson è a volte chiamata la Distribuzione degli eventi rari, il che significa che indica la distribuzione del numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo fisso, oppure spazio fisso, dove il verificarsi di un evento è "raro" nel senso che due eventi non possono accadere insieme.

La variabile casuale $X$ che indica il numero di occorrenze è chiamata variabile casuale di Poisson. La variabile casuale di Poisson è di fondamentale importanza nella Teoria della comunicazione e nella Teoria delle code.

È possibile ottenere la distribuzione di Poisson come limite di una sequenza di distribuzione binomiale.

Sia $\lambda$ fisso e si consideri la distribuzione binomiale con parametri $n$ e $\lambda /n$:

$p_{n}(k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {n!}{n^{k}(n-k)!}}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}.$

Nel limite, quando $n$ tende ad infinito, le probabilità binomiali tendono ad una probabilità di Poisson con parametro $\lambda$:

$\lim _{n\rightarrow \infty }p_{n}(k)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{n^{k}(n-k)!}}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }.$

Questo risultato dimostra che la funzione di probabilità di Poisson può essere utilizzata per approssimare la funzione di probabilità di una distribuzione binomiale. Supponiamo che $Y$ è una variabile binomiale casuale con parametri $n$ e $p$. Se $n$ è grande e $p$ è piccolo, la probabilità che $Y$ eguagli $k$ non è facilmente calcolabile, ma può essere approssimata da una probabilità di Poisson con parametri $np$:

$P(Y=k)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}\approx {\frac {(np)^{k}}{k!}}e^{-np}.$

Il processo di limitazione sopra menzionato può essere illustrato con il seguente esempio: contare il numero annuo $X$ di incidenti stradali verificatisi in una rotatoria trafficata. Assumiamo come valore medio di incidenti che si verificano all’anno il valore 8. Per calcolare la distribuzione, consideriamo i 12 mesi e contiamo come "successo" quando un incidente è accaduto quel mese, altrimenti come un evento "guasto". Il numero di successi costituiranno una variabile binomiale casuale $X_{12}$ con parametri $n=12$ e $p={\frac {8}{12}}$. Poiché il valore medio è 8, è ancora probabile che in alcuni mesi troveremo più di un incidente, quindi consideriamo le settimane e contiamo il numero di settimane con un incidente come un "successo". Questo numero, $X_{52}$, può essere considerato binomialmente distribuito con i parametri $n=52$ e $p={\frac {8}{52}}$. Però ci possono essere ancora settimane con due incidenti, ci riferiamo quindi ai giorni. Il numero $X_{365}$ di giorni con successo può essere considerato binomialmente distribuito con i parametri $n=365$ e $p={\frac {8}{365}}$. La distribuzione limite considerando ore, minuti, secondi, etc. fornisce la distribuzione di Poisson di $X$ con parametro 8. Annotiamo però un importante condizione al verificarsi degli eventi (incidenti): li contiamo solamente se alla fine possiamo separarli in intervalli di tempo distinti. Quindi non è ammesso che due incidenti accadano nello stesso istante.

Per un'analisi più approfondita su questo argomento consultare la pagina Wikipedia Distribuzione di Poisson.

Distribuzione Normale

La distribuzione normale o Gaussiana è un oggetto di bellezza, che appare in molti luoghi in natura. Questo probabilmente è il risultato della distribuzione normale risultante dalla Legge dei grandi numeri, per cui una somma di molte variabili casuali (con varianza finita) diventa una variabile casuale distribuita normalmente secondo il Teorema centrale del limite.

Conosciuta anche come Curva a campana, la distribuzione normale è stata applicata a molte situazioni sociali, ma va notato che la sua applicabilità è generalmente in relazione a quanto bene o quanto male la situazione soddisfa la proprietà sopra citata, laddove molte variabili finite con immissioni casuali risultano prodotti normali (traduzione da rivedere).

La formula per la densità f di una distribuzione normale con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$ è:

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$.

L'articolo, piuttosto approfondito, presente su Wikipedia potrebbe essere riassunto per estendere l'utilità di questo libro: Distribuzione normale da Wikipedia.