Probabilità/Variabili aleatorie

Variabili Aleatorie: Definizioni

Formalmente, una variabile aleatoria in uno spazio di probabilità $(\Omega ,\Sigma ,P)$ è una funzione X misurabile definita in $\Omega$ (l'insieme dei possibili risultati)

X:\Omega \ \to \ \mathbb {R}

,

dove la proprietà di misurabilità è data dal fatto che per ogni x reale l'insieme $\{X\leq x\}:=\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}\in \Sigma$ , in altre parole è un evento nello spazio di probabilità.

Variabili Discrete

Se X può contenere un numero finito di diversi valori, allora diremo che X è una variabile casuale discreta e definiamo la funzione di massa di X, p( $x_{i}$ ) = P(X = $x_{i}$ ), la quale ha le seguenti proprietà:

p( $x_{i}$ ) $\geq$ 0
$\sum _{i}p(x_{i})=1$

Ogni funzione che abbia queste proprietà può essere definita funzione di massa (o di probabilità).

Variabile: Ci serve un modo per parlare del oggetto in questione. In insiemistica, questi oggetti saranno insiemi; in teoria dei numeri, saranno numeri interi; in analisi funzionale, saranno funzioni. Per indicarli useremo lettere minuscole: a, b, c, etc. se ce ne serviranno più di 26, useremo degli indici.

Variabile Aleatoria (o Stocastica): Un valore sconosciuto che potrebbe anche cambiare a ogni controllo. dunque, una variabile aleatoria può essere pensata come una funzione di mappatura dello spazio campione di un processo casuale di numeri reali (in altre parole una funzione che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio). A una variabile aleatoria è associata sia una distribuzione di probabilità (variabile casuale discreta) che una funzione di densità di probabilità (variabile casuale continua).

Variabile Casuale "X": Formalmente definita come una funzione misurabile (spazio di probabilità sui numeri reali).

Variabile Discreta: Assume valori specifici dell'insieme $N$ , ognuno con una probabilità maggiore di zero (0). Si tratta di un insieme finito la cui probabilita è uguale a uno (1).

Variabile Continua: Può essere realizzato con ogni gamma di valori (ovvero un numero reale, fra l'infinito negativo e l'infinito positivo) che abbia una probabilità maggiore di zero (0) di verificarsi. Pr(X=x)=0 per ogni X in R. Una probabilità non nulla è detta finita o infinita contabile.

Variabili Continue

Se X può contenere un numero incalcolabile di valori, e X è tale che per ogni A (misurabile):

P(X\in A)=\int _{A}f(x)dx

,

diremo che X è una variabile continua. La funzione f è chiamata densità (di probabilità di X. Essa soddisfa le condizioni:

$f(x)\geq \ 0\ \forall x\in \ \mathbb {R}$
$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

Funzione di Distribuzione Cumulativa

La Funzione di Distribuzione (Cumulativa) (C.D.F. dall'inglese Cumulative Distribution Function) di X, $F_{X}$ è definita per ogni x reale come:

F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}\sum _{i:x_{i}\leq \ x}p(x_{i}),&{\mbox{if }}X{\mbox{ is discrete}}\\\,\\\int _{-\infty }^{x}f(y)dy,&{\mbox{if }}X{\mbox{ is continuous}}\end{cases}}

La funzione di distribuzione ha un certo numero di proprietà, fra le quali:

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ e $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
se x < y, allora F(x) ≤ F(y) cioè, F(x) è una funzione non decrescente.
F continua verso destra, significa che F(x+h) si avvicina a F(x) quando h si avvicina a zero da destra.