Probabilità/Probabilità condizionata

In alcune situazioni abbiamo bisogno di un nuovo tipo di probabilità.

Esempi

Lanciamo due dadi: la probabilità di ottenere due sei è 1/36. Abbiamo lanciato i dadi, ma sono ancora sotto il bicchiere: la probabilità che siano due sei è ancora 1/36. Ora qualcun altro guarda il risultato sotto il bicchiere, e ci dice che almeno uno dei dadi è un 6. Quale sarà la probabilità che siano due sei? Sebbene stiamo cercando la probabilità che escano due sei, non si tratta più della probabilità originale. E' un nuovo tipo di probabilità dell' evento "doppio sei" poiché sappiamo che è accaduto un altro evento, ovvero l'evento che uno dei dadi mostra 6. La chiamiamo "probabilità condizionata". Indica quanto è probabile l'evento "doppio sei" tra tutti gli eventi in cui (almeno) uno dei dadi mostri sei. In 11 delle 36 possibilità almeno uno dei dadi mostra sei. Così la probabilità che uno dei dadi mostri sei è 11/36 e la probabilità di un doppio sei è 1/36. Quindi la probabilità condizionata del doppio sei, dato un dado che mostra sei è (1/36)/(11/36) = 1/11. Scriviamo questa probabilità condizionata come:

$P({\mbox{doppio sei}}\mid {\mbox{almeno un sei}})$,

usando la stessa lettera P come per la probabilità originale, e separando l'evento di cui si vuole trovare la probabilità condizionata dall'evento che stabilisce la condizione con una linea verticale ("|").

Come altro esempio prendiamo casualmente un abitante del Regno Unito. La probabilità che la persona scelta sia una donna (D) è 1/2: nient'altro il rapporto tra il numero delle donne e il numero degli abitanti del Regno Unito. Cosa accade se ci informano che la persona scelta lavora in un ospedale (H)? Ora risulta che la percentuale di donne tra il personale ospedaliero è, diciamo 0.7. Perciò avremo:

$P(D)=0.5$

e

$P(D|H)=0.7$

Da questi esempi apprendiamo che:

Definizione

La probabilità condizionata di un evento A, data (la presenza) di un evento B, è definita come:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$,

considerando P(B) > 0. Nel caso in cui P(B) = 0, la probabilità condizionata di A dato B è senza significato, ma per completezza definiamo P(A|B) = 0 per P(B) = 0

Da questa formula ne deriva che P(A|B)P(B) = P(A e B).

Eventi indipendenti Conseguentemente, noi vorremmo che i due eventi A e B, fossero indipendenti se P(A|B) = P(A), cioè, se A è probabile che avvenga sia che B avvenga o no. In quest caso, il verificarsi di A è indipendente dal verificarsi di B.

Comunque, P(A|B) = P(A) $\iff$ P(A and B)/P(B) = P(A) $\iff$ P(A and B) = P(A)P(B).

Perciò, A è indipendente da B $\iff$ B è indipendente da A $\iff$ P(A e B) = P(A)P(B).