Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli

Valore assoluto

Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero $a$, indicato con $|a|$, è lo stesso numero $a$ se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè $-a$, se è minore di zero. In sintesi scriviamo:

$\left|a\right|={\begin{cases}a&{\text{ se }}a\geq 0\\-a&{\text{ se }}a<0\end{cases}}$

Per esempio $\left|+7\right|=7$, $\left|-3\right|=-(-3)=3$, $\left|0\right|=0$, $\left|-1\right|=1$, $\left|1\right|=1$.

In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica $E=x^{2}-3x$, indicato con $\left|x^{2}-3x\right|$, è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio,

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x^{2}-3x\geq 0\\-\left(x^{2}-3x\right)&{\text{ se }}x^{2}-3x<0\end{cases}}.$

Risolvendo la disequazione $x^{2}-3x\geq 0$ si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x\leq 0\vee x\geq 3\\-x^{2}+3x&{\text{ se }}0<x<3\end{cases}}.$

In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:

$\left|f(x)\right|={\begin{cases}f(x)&{\text{ se }}f(x)\geq 0\\-f(x)&{\text{ se }}f(x)<0\end{cases}}.$

La funzione $f(x)$ è detta argomento del valore assoluto.

{{Algebra1/Esempio1| Per la funzione $f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|$ trovare le espressioni algebriche che descrivono i due casi.

Per definizione si ha:

$f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|={\begin{cases}{\sqrt {3}}+3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x\geq 0\Rightarrow x\geq -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\sqrt {3}}-3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x<0\Rightarrow x<-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\end{cases}}.$

Esempio:

Data la funzione $f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x+1\right|-2x$ descriverla per casi, eliminando i valori assoluti.

Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto

${\begin{array}{l}x^{2}-4\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq -2\vee x\geq 2{\text{ e}}\\x+1\geq 0\quad \Rightarrow \quad x>-1.\end{array}}$

La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

• Nell’intervallo $x<-2$ l’argomento del primo valore assoluto è positivo e quello del secondo è negativo;

• nell’intervallo $-2\leq x<-1$ tutti e due gli argomenti del valore assoluto sono negativi;

• nell’intervallo $-1\leq x<2$ l’argomento del primo valore assoluto è negativo, quello del secondo è positivo;

• nell’intervallo $x\geq 2$ entrambi gli argomenti sono positivi.

In sintesi

$f(x)={\begin{cases}(x^{2}-4)-(x+1)-2&{\text{ se }}x<-2\\-(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}-2\leq x<-1\\-(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}-1\leq x<2\\(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}x>2\end{cases}}.$

Equazioni in una incognita in valore assoluto

Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo

• Equazioni con valore assoluto del tipo $\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k\geq 0$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-7\right|=3$.

Per la definizione di valore assoluto si ha che $\left|x^{2}-7\right|={\begin{cases}x^{2}-7&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}\;$, pertanto l’equazione diventa

$\left|x^{2}-7\right|=3\Rightarrow {\begin{cases}x^{2}-7=3&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7=3&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}$

ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{-x^{2}+7=3}\end{array}}\right..$

Moltiplicando per $-1$ ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{x^{2}-7=-3}\end{array}}\right..$

Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione $x^{2}-7=3$ verifica automaticamente la disequazione $x^{2}-7\geq 0$ in quanto è richiesto che $x^{2}-7$ sia uguale a $3$, pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni $x^{2}-7=3$ e $x^{2}-7=-3$ unendone le soluzioni. Quindi

${\begin{array}{l}x^{2}-7=3\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x_{1}=-{\sqrt {10}}\;\vee \;x_{2}={\sqrt {10}}{\text{ e}}\\x^{2}-7=-3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{3}=-2\;\vee \;x_{4}=2.\end{array}}$

L’insieme delle soluzioni è quindi: $\left\{-{\sqrt {10}}{\text{, }}{\sqrt {10}}{\text{, }}-2{\text{, }}+2\right\}$.

Procedura risolutiva  Per risolvere un’equazione del tipo $\left|f(x)\right|=k\,{\text{ con }}k\geq 0$ è sufficiente risolvere la doppia equazione $f(x)=\pm k$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-x\right|=1.$

L’equazione $\left|x^{2}-x\right|=1$ si risolve unendo le soluzioni delle equazioni $x^{2}-x=1$ e $x^{2}-x=-1$. cioè:

${\begin{array}{l}x^{2}-x=1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;\vee \;x_{2}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\text{ e}}\\x^{2}-x=-1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta <0\quad \Rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\emptyset .\end{array}}$

L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi

${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}.$

• Equazioni con valore assoluto del tipo ${\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k<0}$.

Se $k<0$ l’equazione è impossibile. In questo caso $\left|f(x)\right|=k$ è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x-7\right|=-1$. Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti

$\left\{{\begin{array}{l}{x-7\geq 0}\\{x-7=-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}}\right..$

Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.