Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli: differenze tra le versioni

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(Nuova pagina: {{Algebra2}} == Valore assoluto == Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il ''valore assoluto'' o ''modulo'' di un numero <math>a</math>, in...)
 
 
=== Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo ===
 
* '''Equazioni con valore assoluto del tipo''' <math>\left|f(x)\right|=k\text{ con }k\ge 0</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|x^2-7\right|=3</math>.<br />
 
Per la definizione di valore assoluto si ha che <math>\left|x^2-7\right|=\begin{cases}
x^2-7 & \text{ se }x^2-7 \ge 0\\
-x^2+7 & \text{ se }x^2-7 < 0\\
\end{cases}\;</math>, pertanto l’equazione diventa
 
{{Testo centrato|
<math>\left|x^2-7\right|=3 \Rightarrow \begin{cases}
x^2-7=3 & \text{ se }x^2-7 \ge 0\\
-x^2+7=3 & \text{ se }x^2-7 < 0\\
\end{cases}</math>
}}
ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi
 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x^2-7\ge 0}\\{x^2-7=3}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x^2-7<0}\\{-x^2+7=3}\end{array}\right..</math>
}}
 
Moltiplicando per <math>-1</math> ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x^2-7\ge 0}\\{x^2-7=3}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x^2-7<0}\\{x^2-7=-3}\end{array}\right..</math>
}}
 
Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione <math>x^2-7=3</math> verifica automaticamente la disequazione <math>x^2-7\ge 0</math> in quanto è richiesto che <math>x^2-7</math> sia uguale a <math>3</math>, pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni <math>x^2-7=3</math> e <math>x^2-7=-3</math> unendone le soluzioni. Quindi
{{Testo centrato|
<math>\begin{array}{l}x^2-7=3\Rightarrow x^2=10\Rightarrow x_1=-\sqrt{10}\;\vee\; x_2=\sqrt{10} \text{ e} \\x^2-7=-3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x_3=-2\;\vee\; x_4=2.\end{array}</math>
}}
 
L’insieme delle soluzioni è quindi: <math>\left\{-\sqrt{10}\text{, }\sqrt{10}\text{, }-2\text{, }+2\right\}</math>.
}}
 
'''Procedura risolutiva'''&emsp;
Per risolvere un’equazione del tipo <math>\left|f(x)\right|=k\,\text{ con }k\ge 0</math> è sufficiente risolvere la doppia equazione <math>f(x)=\pm k</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|x^2-x\right|=1.</math><br />
 
L’equazione <math>\left|x^2-x\right|=1</math> si risolve unendo le soluzioni delle equazioni <math>x^2-x=1</math> e <math>x^2-x=-1</math>. cioè:
{{Testo centrato|
<math>\begin{array}{l}x^2-x=1\quad\Rightarrow\quad x^2-x-1=0\quad\Rightarrow\quad x_1=\tfrac{1-\sqrt 5} 2\;\vee\; x_2=\tfrac{1+\sqrt 5} 2 \text{ e} \\x^2-x=-1\quad\Rightarrow\quad x^2-x+1=0\quad\Rightarrow\quad \Delta <0\quad\Rightarrow\quad\text{I.S.}=\emptyset.\end{array}</math>
}}
 
L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi
{{Testo centrato|
<math>\text{I.S.}=\left\{\tfrac{1-\sqrt 5} 2\text{, }\tfrac{1+\sqrt 5} 2\right\}.</math>
}}
}}
 
* '''Equazioni con valore assoluto del tipo''' <math>{\left|f(x)\right|=k\text{ con }k<0}</math>.
 
Se <math>k<0</math> l’equazione è impossibile. In questo caso <math>\left|f(x)\right|=k</math> è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|x-7\right|=-1</math>. Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x-7\ge 0}\\{x-7=-1}\end{array}\right. \cup \left\{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}\right..</math>
}}
Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.
}}
 
=== Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo ===
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