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Viene assunto che il lettore abbia una discreta conoscenza dell'algebra vettoriale, pertanto gli ricordiamo solamente alcune delle definizioni e formule fondamentali.
Il prodotto scalare di due vettori
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }
b
=
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
{\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }
dove
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
x , y e z , uguaglia:
a
b
=
(
b
a
)
=
a
b
c
o
s
(
a
,
b
)
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
{\displaystyle \mathbf {ab} =(\mathbf {ba} )=ab\ cos(\mathbf {a,b} )=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}
Il prodotto vettoriale [
a
b
{\displaystyle \mathbf {ab} }
dei vettori
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
[
a
b
]
=
a
b
c
o
s
(
a
,
b
)
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]=ab\ cos(\mathbf {a,b} )}
[
a
b
]
=
|
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
i
+
(
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
j
+
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\mathbf {i} +(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\mathbf {j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\mathbf {k} }
[
a
b
]
=
−
[
b
a
]
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]=-[\mathbf {ba} ]}
La direzione del vettore
[
a
b
]
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
[
a
b
]
{\displaystyle [\mathbf {ab} ]}
Il triplo prodotto scalare di tre vettori
a
,
b
e
c
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \ e\ \mathbf {c} }
a
[
b
c
]
=
b
[
c
a
]
=
c
[
a
b
]
=
|
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
|
{\displaystyle \mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=\mathbf {b} [\mathbf {ca} ]=\mathbf {c} [\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}}
a
[
b
c
]
=
−
b
[
a
c
]
=
−
a
[
c
b
]
{\displaystyle \mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=-\mathbf {b} [\mathbf {ac} ]=-\mathbf {a} [\mathbf {cb} ]}
[
a
[
b
c
]
]
=
b
(
a
c
)
−
c
(
a
b
)
=
−
[
[
b
c
]
a
]
{\displaystyle [\mathbf {a} [\mathbf {bc} ]]=\mathbf {b} (\mathbf {ac} )-\mathbf {c} (\mathbf {ab} )=-[[\mathbf {bc} ]\mathbf {a} ]}
Se i vettori sono una funzione di una variabile scalare t , allora i vettori possono venire differenziati rispetto a questa variabile nel rispetto delle usuali condizioni. Qui, le seguenti relazioni si mantengono:
d
d
t
(
a
+
b
)
=
d
a
d
t
+
d
b
d
t
{\displaystyle {d \over dt}(\mathbf {a+b} )={d\mathbf {a} \over dt}+{d\mathbf {b} \over dt}}
d
d
t
(
ϕ
a
)
=
ϕ
d
a
d
t
+
d
ϕ
d
t
a
{\displaystyle {d \over dt}(\phi \mathbf {a} )=\phi {d\mathbf {a} \over dt}+{d\phi \over dt}\mathbf {a} }
d
d
t
(
a
b
)
=
(
d
a
d
t
b
)
+
(
a
d
b
d
t
)
e
t
c
.
{\displaystyle {d \over dt}(\mathbf {ab} )=({d\mathbf {a} \over dt}\mathbf {b} )+(\mathbf {a} {d\mathbf {b} \over dt})\,etc.}
![{\displaystyle [\mathbf {ab} ]=ab\ cos(\mathbf {a,b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aedca7dbcdf90b8914be2eb02cb8f23cc241a24)
![{\displaystyle [\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\mathbf {i} +(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\mathbf {j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb136f05c4716ef5dbe125ba8d3b4e3ab6f58ae)
![{\displaystyle [\mathbf {ab} ]=-[\mathbf {ba} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47db8fa0b0754a49dd8d95ce45b2eec92b2981e1)
![{\displaystyle [\mathbf {ab} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4800766125fa752cf55da304c7418a8d29ba16)
![{\displaystyle \mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=\mathbf {b} [\mathbf {ca} ]=\mathbf {c} [\mathbf {ab} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06cb0329cb670b6ca4777cb3f47819b60d4727d)
![{\displaystyle \mathbf {a} [\mathbf {bc} ]=-\mathbf {b} [\mathbf {ac} ]=-\mathbf {a} [\mathbf {cb} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c02bd0e5c9fb571ee30cece9a3c135fe83f6e3)
.png)
![{\displaystyle [\mathbf {a} [\mathbf {bc} ]]=\mathbf {b} (\mathbf {ac} )-\mathbf {c} (\mathbf {ab} )=-[[\mathbf {bc} ]\mathbf {a} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e79e07eeaef661c3f7b27a53fc86c100a199128)
