Analisi vettoriale/Teorema di Green

1. Le formule di Gauss e Stokes (E.17) e (E.27) sono relazioni fondamentali tra integrali in analisi vettoriale. Si possono pure ottenere, sulla loro base, un numero di altre relazioni importanti tra gli integrali di volume, di superficie e di linea (integrali spaziali) di quantità scalari e vettoriali.

La formula E.17 di Gauss ci permette di dimostrare, senza alcuna difficoltà, il teorema di Green, che è importante per l'analisi vettoriale e le sue applicazioni. A tal fine, assumiamo che nella formula di Gauss (E.17).

$\int div\ \mathbf {a} \ dV=\oint a_{n}\ dS$

$\mathbf {a} =\Psi \ div\ grad\ \phi =\Psi \nabla \phi$, dove 'ψ e φ sono scalari casuali.

Secondo le equazioni (A.432) ed (E.40), abbiamo

$div\ \mathbf {a} =\Phi \ grad\ \phi +grad\ \Phi \cdot grad\ \phi =\Phi \nabla ^{2}\phi +(\nabla \phi )(\nabla \Phi )$

Inoltre, $a_{n}=\Phi \ grad_{n}\ \phi =\Phi {\delta \phi \over \delta n}$. Ne segue pertanto dalla (E.17) che

$\int [\Phi \nabla ^{2}\phi +(\nabla \phi )(\nabla \Phi )]dV=\oint \Phi {\delta \ \phi \over \delta n}dS\ \ \ \ (E.52)$

in cui l'integrale nel lato destro deve venire determinato sulla superficie S chiusa che confina la regione di integrazione V. Questa formula esprime esattamente il teorema di Green.

Per alcuni scopi, è conveniente trasformare l'equazione (E.52) sostituendo in essa $\phi$ con $\Phi$, e viceversa. Sottraendo l'equazione ottenute in questo modo dalla equazione (E.52), ne risulta

$\int (\Phi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\Phi )dV=\oint (\Phi {\delta \phi \over \delta n}-\ \phi {\delta \Phi \over \delta n})dS\ \ \ \ (E.53)$

È stato già indicato che l'applicazione del teorema di Gauss è limitata dal requisito di continuità del vettore a e la circoscrizione delle sue derivate prime nella regione di integrazione V. Conseguentemente, può solo venire applicato direttamente alle funzioni di posizione scalari continue e finite $\phi$ e <m<thA\Phi</math> che abbiano derivate di primo e secondo ordine nella regione di integrazione V.

2. Consideriamo l'integrale di linea $\oint \phi \ d\mathbf {s}$ di uno scalare arbitrario avente derivate finite su un contorno chiuso L arbitrario. Questo integrale è un vettore poiché con ds intendiamo il valore del modulo di un elemento di lunghezza del contorno.

Per trasformare questo integrale, dobbiamo moltiplicarlo scalarmente per un vettore arbitrario c che sia costante in grandezza e direzione:

$\mathbf {c} \oint _{L}\phi \ d\mathbf {s} =\oint _{L}\phi \ \mathbf {c} \ d\mathbf {s} =\oint _{L}\phi \ c_{s}\ ds$

Possiamo usare la formula di Stokes (E.27) per trasformare qest'ultimo integrale in uno sulla superficie S arbitraria giacente sul contorno L. Per fare ciò, è sufficiente assumere nella equazione (E.27) che $\mathbf {a} =\phi \ \mathbf {c}$

$\mathbf {c} \oint _{L}\phi \ d\mathbf {s} =\int _{S}rot_{s}\ (\phi \ \mathbf {c} )dS$

Usando questa espressione nella relazione integrale ultima, e collocando il vettore $\mathbf {c}$ costante all'esterno del segno di integrazione, si ottiene

$\mathbf {c} \oint _{L}\phi \ d\mathbf {s} =\mathbf {c} \int _{S}[\mathbf {n} \cdot grad\ \phi ]dS$

In considerazione della natura del vettore c, questa equazione può solo valere se entrambi gli integrali sono uguali. Con ciò arriviamo alla richiesta formula

$\oint _{L}\phi \ d\mathbf {s} =\int _{S}[\mathbf {n} \cdot grad\ \phi ]dS\ \ \ \ (E54)$

dove come consegue dalla derivazione, n è normale alla superficie S formante un sistema destrorso con la direzione positiva attorno al contorno L.

Se si presume che l'elemento dS elementare di superficie sia una quantitù vettoriale la cui direzione coincida con quella di una normale positiva a questo elemento dS, allora l'equazione (E.54) può venire scritta come segue:

$\oint _{L}\phi d\mathbf {s} =\int _{S}[d\mathbf {S} \cdot grad\ \phi ]\ \ \ \ (E.55)$

3. Verifichiamo la relazione

$\int _{V}rot\ \mathbf {a} \ dV=\oint _{S}[\mathbf {na} ]dS=\oint _{S}[d\mathbf {S} \cdot \mathbf {a} ]\ \ \ \ (E.56)$

Moltiplichiamo l'integrale volumetrico da trasformare scalarmente per il vettore c arbitrario che è costante in grandezza e direzione.

Secondo l'equazione (E.44), abbiamo

$\mathbf {c} \ rot\ \mathbf {a} =\mathbf {a} \ rot\ \mathbf {c} +div\ [\mathbf {ac} ]=div\ [\mathbf {ac} ]$

dato che il rotore del vettore c costante è uguale a zero. Quindi,

$\mathbf {c} \int _{V}rot\ \mathbf {a} \ dV=\int _{V}div\ \ [\mathbf {ac} ]\ dV=\oint _{S}[\mathbf {ac} ]_{n}\ dS$

dove abbiamo usufruito del teorema di Gauss (E.17).

Finalmente, [ac]_n=[ac]n=c[na], e, pertanto,

$\mathbf {c} \int _{V}rot\ \mathbf {a} \ \ dV=\mathbf {c} \oint _{S}[\mathbf {na} ]\ dS$

Dato che il vettore c è arbitrario, l'equazione (E.56) discende da questa equazione.