Analisi vettoriale/Teorema di Gauss: divergenza

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1. L'integrale di superficie può essere trasformato in uno di volume.

Questo è il contenuto di uno dei più importanti teoremi della analisi vettoriale: il teorema di Gauss.

Primo, consideriamo il flusso dN di un arbitrario, ma differenziabile vettore a attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitamente piccolo e per convenienza dei calcoli scegliamo la direzione degli assi cartesiani x, y e z in modo che essi risultino coincidenti con i lati dx, dy, e dz di questo parallelepipedo. L'integrale

Teorema di Gauss-divergenza.png

consiste in questo caso nella somma di sei integrali su ciascun dei lati delle facce del parallelepipedo. Facendo ricorso al teorema del valore medio noto dal calcolo integrale, si può rappresentare ciascuno di questi sei integrali come il prodotto dell'area della faccia per un certo valore medio della componente normale del vettore sulla data faccia.

Consideriamo per primail flusso del vettore attraverso le due facce parallele 1 e 2 perpendicolari all'asse x. Il flusso attraverso la faccia frontale 2 è:

dove e sono valori determinati medi delle coordinate y e z sulla faccia 2, e è il modulo del vettore pure sulla faccia 2. Il flusso attraverso la faccia posteriore 1 è:

dove è il valore del vettore sulla faccia 1 poiché la normale esterna a questa faccia è direttamente opposta all'asse x. Perciò, il flusso totale attraverso le facce 1 e 2 è:

La differenza è l'incremento della componente del vettore quando la coordinata x si incrementa di dxzf, la distanza tra la faccia 1 e 2. Con una precisione fino agli infinitesimi di secondo ordine, questo incremento è:

dove, stante la dimensione infinitesima del parallelepipedo, con possiamo supporre il valore di questa derivata in qualsiasi punto del parallelepipedo. Cosicché, il flusso totale attraverso entrambe le facce perpendicolari all'asse x è:

.

Per i flussi attraverso le paia di facce perpendicolari agli assi y e z analogamente otteniamo

.

Sommando le espressioni ottenute, otteniamo il flusso totale del vettore attraverso le sei facce di un parallelepipedo elementare:

È consuetudine per brevità denotare la somma delle derivate del vettore rispetto agli assi coordinati con il simbolo :

Se introduciamo, in aggiunta, per l'elemento infinitesimale di volume, il simbolo dV:

2. Non è difficile estendere questa formula, che esprime il flusso di un vettore attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitamente piccolo, ad una superficie di forma e dimensioni arbitrarie. Consideriamo una superficie S chiusa arbitraria. Dividiamo il volume V da essa delimitato con un sistema di piani mutuamente ortogonali in un insieme di elementi cubici infinitamente piccoli. È naturale che gli elementi estremi del volume adiacenti alla superficie S non avranno, genericamente parlando, una forma cubica . Tramite una ulteriore suddivisione, tuttavia, le facce di questi cubi estremi possono essere fatti coincidere con la data superficie S con qualsiasi grado di accuratezza. Usiamo la equazione (A.16) per calcolare il flusso di un vettore attraverso la superficie di ciascuno di questi cbi interni ad S e sommiamo le espressioni ottenute:

In questa equazione, l'integrale triplo significa che la sommatoria dell'integrando deve essere eseguita su tutti gli elementi del volume V circoscritto dalla superficie S.

Le facce di tutti i cubi elementari la cui combinazione forma il volume V possono venire divise in due classi-facce esterne che coincidono con gli elementi d'area della superficie S, e facce interne che formano le frontiere tra cubi adiacenti. È evidente che il flusso del vettore attraverso ogni faccia interna entrerà doppiamente nella somma : quando si conta il flusso attraverso la superficie del cubo su uno de lati di questa faccia e quando lo si conta attraverso la superficie dell'altro suo lato. Poiché la normale alla faccia che è esterna rispetto al primo cubo è opposta alla normale alla stessa faccia che è esterna relativa al secondo cubo, allora i due flussi attraverso questa faccia avranno segno opposto. Di conseguenza, tutti i termini della sommatoria che sono collegati alle facce interne si annulleranno, e questa sommatoria consterà della sommatoria dei flussi del vettore attraverso le sole facce esterne dei cubi che coincidono con gli elementi di aree della superficie S. Quindi, uguaglia il flusso N del vettore attraverso la data area della superficie S, di conseguenza:

Questa espressione è la formulazione matematica del teorema di Gauss: il flusso di un vettore funzione continua di un punto, attraverso una superficie S arbitraria, uguaglia l'integrale della divergenza del vettore sul volume V confinato da questa superficie.

3. Se la superficie S è così piccola che possa essere considerata costante in tutti i suoi punti interni. allora nella equazione E.17 può venire posta all'esterno dell'integrale. Pertanto, il flusso dN attraverso una superficie chiusa S infinitamente piccola può venire espressa con la medesima formula E.16:

come il flusso attraverso la superficie di un parallelepipedo elementare. Poiché questa formula vale solamente nel caso limite di una superficie infinitamente piccola, per essa allora sarà più corretta la seguente forma:

È Più corretto considerare questa formula come definizione di divergenza: la divergenza di un vettore in un dato punto di un campo è il limite al quale tende il rapporto del suo flusso attraverso una superficie qualunque che circonda detto punto ed il volume confinato dalla superficie tendete a 0. Ne segue da questa definizione della divergenza che il suo valore non dipende per nulla dalla scelta del sistema di coordinate, ovvero che la divergenza di un vettore è un vero scalare. Sulla base della E.18) ed impiegando l'E.16 per il particolare caso delle coordinate cartesiane, si arriva ovviamente di nuovo alla E.14.

Concludendo, notiamo che in idrodinamica la divergenza della velocità di un liquido ha un significato fisico immediato. Infatti, in ciascun punto del liquido

uguaglia l'ammontare del liquido che fuoriesce dall'elemento di volume dV che contiene il punto preso in considerazione per unità di volume.

Il nome divergenza fu scelto per questa quantità esattamente perché il liquido spruzzava fuori o divergeva da quelli e solamente quei punti o porzioni di spazio che occupava che occupava in cui . È evidente che le sorgenti del liquido debbano essere dispostein questi punti. Per analogia, i punti del campo di un qualsiasi vettore in cui sono genericamente chiamati sorgenti di questo campo. Il valore numerico della è chiamato forza della sorgente del campo; in dipendenza del segno della divergenza, la forza della sorgente può essere positiva o negativa. Talvolta le sorgenti negative di un campo sono chiamate scarichi del campo. I campi vettoriali per i quali sono chiamati campi senza sorgenti o solenoidali.

Divergenza.png

Esempio 1°. Determinare la divergenza di un vettore che in ciascun suo punto di un campo è diretto parallelamente o anti-parallelamente al raggio-vettore R condotto a questo punto dal punto 0.

Si applichi a tale fine l'Eq.18 all'elemento di volume dV ritagliato dallo strato sferico fra le sfere che hanno i raggi R e R+dR con un cono con il suo centro i O che intersecano queste sfere lungo gli archi di meridiani α e α+dα e gli archi dei cichi paralleli θ e . Poiché è stato dato che il vettore è parallelo ad R, allora il flusso attraverso il lato (formato dal cono)della superficie del volume V è zero. Inoltre, poiché l'area dell'elemento di superficie dS della superficie della sfera avente raggio R intersecato dal cono è:

pertanto, il flusso del vettore attraverso dS è:

dove è la componente di di nella direzione di R poiché la normale esterna a dS è diretta in senso opposto al raggio-vettore R. Il flusso attraverso un elemento di superfici della sfera avente il raggio R+dR, fino all'infinitesimale di secondo ordine, evidentemente uguaglia:

Pertanto, il flusso totale è:

D'altra parte,

cosicché:

Invitiamo il lettore a mostrare che l'espressione della divergenza per un vettorea arbitrario assume la forma

Divergenza in un sistema cilindrico di coordinate.png

Esempio 2°. Determinare la divergenza di un vettore arbitrario in un sistema cilindrico di coordinate z, r, e α (fig. accanto)

Siano az, ar e aα le componenti rispettivamente, del vettore a, nella direzione di crescita delle coordinate z, r e α.

Applichiamo l'equazione (E.18) al volume confinato tra due superfici cilindriche aventi i raggi r e r+dr, due piani meridiani α=α1 e α=α1+dα, e due piani perpendicolari all'asse z: z=z1 e z=z1+dz. Il flusso del vettore a attraverso un elemento d'area della superficie cilindrica avente il raggio r è -arr dα dz; for una superficie cilindrica avente il raggio r+dr è (con una accuratezza fino al secondo ordine infinitesimale), mentre la somma dei flussi attraverso le entrambe superfici cilindriche è

Calcolando nella medesima maniera il flusso del vettore attraverso gli elementi d'area rimanenti della superficie del volume dV, otteniamo

Poiché dV=r dα dz dr, allora l'equazione (E.18) porta al risultato