Analisi vettoriale/Teorema di Gauss: divergenza

1. L'integrale $\oint a_{n}\ dS$ di superficie può essere trasformato in uno di volume.

Questo è il contenuto di uno dei più importanti teoremi della analisi vettoriale: il teorema di Gauss.

Primo, consideriamo il flusso dN di un arbitrario, ma differenziabile vettore a attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitamente piccolo e per convenienza dei calcoli scegliamo la direzione degli assi cartesiani x, y e z in modo che essi risultino coincidenti con i lati dx, dy, e dz di questo parallelepipedo. L'integrale

$dN=\oint a_{n}\ dS$

consiste in questo caso nella somma di sei integrali su ciascun dei lati delle facce del parallelepipedo. Facendo ricorso al teorema del valore medio noto dal calcolo integrale, si può rappresentare ciascuno di questi sei integrali come il prodotto dell'area della faccia per un certo valore medio della componente normale del vettore $\mathbf {a}$ sulla data faccia.

Consideriamo per primail flusso del vettore $\mathbf {a}$ attraverso le due facce parallele 1 e 2 perpendicolari all'asse x. Il flusso attraverso la faccia frontale 2 è:

$a_{2n}(x+dx,{\bar {y}},{\bar {z}})dS=a_{2n}(x+dx,{\bar {y}},{\bar {z}})dy\ dz$

dove ${\bar {y}}$ e ${\bar {z}}$ sono valori determinati medi delle coordinate y e z sulla faccia 2, e $\mathbf {a_{2}}$è il modulo del vettore $\mathbf {a}$ pure sulla faccia 2. Il flusso attraverso la faccia posteriore 1 è:

$a_{1n}dS=-a_{1x}dy\ dz\ \ [qui\ a_{1n=}\ a_{1n}(x,{\bar {y}},{\bar {z}})]$

dove $\mathbf {a_{1}}$ è il valore del vettore $\mathbf {a}$ sulla faccia 1 poiché la normale esterna a questa faccia è direttamente opposta all'asse x. Perciò, il flusso totale attraverso le facce 1 e 2 è:

$(a_{2x}-a_{1x})dy\ dz$

La differenza $(a_{2x}-a_{1x})dy\ dz$ è l'incremento della componente $a_{x}$ del vettore quando la coordinata x si incrementa di dxzf, la distanza tra la faccia 1 e 2. Con una precisione fino agli infinitesimi di secondo ordine, questo incremento è:

$a_{2x}(x+dx,y,z)-a_{1x}(x,y,z)={\delta a_{x} \over \delta x}$

dove, stante la dimensione infinitesima del parallelepipedo, con ${\delta a_{x} \over \delta x}$ possiamo supporre il valore di questa derivata in qualsiasi punto del parallelepipedo. Cosicché, il flusso totale attraverso entrambe le facce perpendicolari all'asse x è:

${\delta a_{x} \over \delta x}dx\ dy\ dz$.

Per i flussi attraverso le paia di facce perpendicolari agli assi y e z analogamente otteniamo

${\delta a_{y} \over \delta y}dx\ dy\ dz\ \ e\ \ {\delta a_{z} \over \delta z}dx\ dy\ dz$.

Sommando le espressioni ottenute, otteniamo il flusso totale del vettore $\mathbf {a}$ attraverso le sei facce di un parallelepipedo elementare:

$dN=\oint a_{s}\ dS=({da_{x} \over dx}+{da_{y} \over dy}+{da_{z} \over dz})dx\ dy\ dz\ \ \ \ (E.14)$

È consuetudine per brevità denotare la somma delle derivate del vettore $\mathbf {a}$ rispetto agli assi coordinati con il simbolo $div\ \mathbf {a}$:

$div\ \mathbf {a} ={da_{x} \over dx}+{da_{y} \over dy}+{da_{z} \over dz}\ \ \ \ (E.15)$

Se introduciamo, in aggiunta, per l'elemento infinitesimale di volume, il simbolo dV:

$dN=div\ \mathbf {a} \ \ dV\ \ \ \ (E.16)$

2. Non è difficile estendere questa formula, che esprime il flusso di un vettore $\mathbf {a}$ attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitamente piccolo, ad una superficie di forma e dimensioni arbitrarie. Consideriamo una superficie S chiusa arbitraria. Dividiamo il volume V da essa delimitato con un sistema di piani mutuamente ortogonali in un insieme di elementi cubici infinitamente piccoli. È naturale che gli elementi estremi del volume adiacenti alla superficie S non avranno, genericamente parlando, una forma cubica . Tramite una ulteriore suddivisione, tuttavia, le facce di questi cubi estremi possono essere fatti coincidere con la data superficie S con qualsiasi grado di accuratezza. Usiamo la equazione (A.16) per calcolare il flusso di un vettore $\mathbf {a}$ attraverso la superficie di ciascuno di questi cbi interni ad S e sommiamo le espressioni ottenute:

$\sum dN=\sum dv\ \mathbf {a} \ dV=\int \int \int _{v}\ div\ \mathbf {a} \ dV$

In questa equazione, l'integrale triplo significa che la sommatoria dell'integrando deve essere eseguita su tutti gli elementi del volume V circoscritto dalla superficie S.

Le facce di tutti i cubi elementari la cui combinazione forma il volume V possono venire divise in due classi-facce esterne che coincidono con gli elementi d'area della superficie S, e facce interne che formano le frontiere tra cubi adiacenti. È evidente che il flusso del vettore $\mathbf {a}$ attraverso ogni faccia interna entrerà doppiamente nella somma $\sum dN$: quando si conta il flusso attraverso la superficie del cubo su uno de lati di questa faccia e quando lo si conta attraverso la superficie dell'altro suo lato. Poiché la normale alla faccia che è esterna rispetto al primo cubo è opposta alla normale alla stessa faccia che è esterna relativa al secondo cubo, allora i due flussi attraverso questa faccia avranno segno opposto. Di conseguenza, tutti i termini della sommatoria $\sum dN$ che sono collegati alle facce interne si annulleranno, e questa sommatoria consterà della sommatoria dei flussi del vettore $\mathbf {a}$ attraverso le sole facce esterne dei cubi che coincidono con gli elementi di aree della superficie S. Quindi, $\sum dN$ uguaglia il flusso N del vettore $\mathbf {a}$ attraverso la data area della superficie S, di conseguenza:

$N=\oint _{s}\ a_{n}\ ds=\int _{V}div\ \mathbf {a} \ dV\ \ \ \ (E.17)$

Questa espressione è la formulazione matematica del teorema di Gauss: il flusso di un vettore $\mathbf {a}$ funzione continua di un punto, attraverso una superficie S arbitraria, uguaglia l'integrale della divergenza del vettore sul volume V confinato da questa superficie.

3. Se la superficie S è così piccola che $div\ \mathbf {a}$ possa essere considerata costante in tutti i suoi punti interni. allora nella equazione E.17 $div\ \mathbf {a}$ può venire posta all'esterno dell'integrale. Pertanto, il flusso dN attraverso una superficie chiusa S infinitamente piccola può venire espressa con la medesima formula E.16:

$dN=\oint a_{n}\ dS=div\ \mathbf {a} \ dV$

come il flusso attraverso la superficie di un parallelepipedo elementare. Poiché questa formula vale solamente nel caso limite di una superficie infinitamente piccola, per essa allora sarà più corretta la seguente forma:

$div\ \mathbf {a} =\lim _{\Delta V\to 0}{\oint a_{n}\ dS \over \Delta V}\ \ \ \ (E.18)$

È Più corretto considerare questa formula come definizione di divergenza: la divergenza di un vettore $\mathbf {a}$ in un dato punto di un campo è il limite al quale tende il rapporto del suo flusso attraverso una superficie qualunque che circonda detto punto ed il volume $\Delta V$ confinato dalla superficie tendete a 0. Ne segue da questa definizione della divergenza che il suo valore non dipende per nulla dalla scelta del sistema di coordinate, ovvero che la divergenza di un vettore è un vero scalare. Sulla base della E.18) ed impiegando l'E.16 per il particolare caso delle coordinate cartesiane, si arriva ovviamente di nuovo alla E.14.

Concludendo, notiamo che in idrodinamica la divergenza della velocità $\mathbf {v}$ di un liquido ha un significato fisico immediato. Infatti, in ciascun punto del liquido

$div\ \mathbf {a} =\lim _{\Delta V\to 0}{\oint a_{n}\ dS \over \Delta V}$

uguaglia l'ammontare del liquido che fuoriesce dall'elemento di volume dV che contiene il punto preso in considerazione per unità di volume.

Il nome divergenza fu scelto per questa quantità esattamente perché il liquido spruzzava fuori o divergeva da quelli e solamente quei punti o porzioni di spazio che occupava che occupava in cui $div\ \mathbf {v} >0$. È evidente che le sorgenti del liquido debbano essere dispostein questi punti. Per analogia, i punti del campo di un qualsiasi vettore $\mathbf {a}$ in cui $div\ \mathbf {a} ?0$ sono genericamente chiamati sorgenti di questo campo. Il valore numerico della $div\ \mathbf {a}$ è chiamato forza della sorgente del campo; in dipendenza del segno della divergenza, la forza della sorgente può essere positiva o negativa. Talvolta le sorgenti negative di un campo sono chiamate scarichi del campo. I campi vettoriali per i quali $div\ \mathbf {a} =0$ sono chiamati campi senza sorgenti o solenoidali.

Esempio 1°. Determinare la divergenza di un vettore $\mathbf {[} a]$ che in ciascun suo punto di un campo è diretto parallelamente o anti-parallelamente al raggio-vettore R condotto a questo punto dal punto 0.

Si applichi a tale fine l'Eq.18 all'elemento di volume dV ritagliato dallo strato sferico fra le sfere che hanno i raggi R e R+dR con un cono con il suo centro i O che intersecano queste sfere lungo gli archi di meridiani α e α+dα e gli archi dei cichi paralleli θ e dθ. Poiché è stato dato che il vettore $\mathbf {a}$ è parallelo ad R, allora il flusso attraverso il lato (formato dal cono)della superficie del volume V è zero. Inoltre, poiché l'area dell'elemento di superficie dS della superficie della sfera avente raggio R intersecato dal cono è:

$dS=R^{2}\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha$

pertanto, il flusso del vettore $\mathbf {a}$ attraverso dS è:

$a_{n}\ dS=-a_{R}\ R^{2}\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha$

dove $a_{R}$ è la componente di di $\mathbf {a}$ nella direzione di R poiché la normale esterna a dS è diretta in senso opposto al raggio-vettore R. Il flusso attraverso un elemento di superfici della sfera avente il raggio R+dR, fino all'infinitesimale di secondo ordine, evidentemente uguaglia:

$a_{R}\ R^{2}\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha +{\delta (a_{R}\ R^{2}\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha )dR \over \delta R}$

Pertanto, il flusso totale è:

$\oint a_{n}\ dS={\delta (a_{R}\ R^{2})\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha \ dR \over \delta R}$

D'altra parte,

$dV=dS\cdot dR=R^{2}\ sin\theta \ d\theta \ d\alpha \ dR$

cosicché:

$div\ \mathbf {a} =\lim _{{dV}\to 0}{\oint _{S}v_{n}\ dS \over dV}={1 \over R^{2}}{\delta (R^{2}\ a_{R}) \over \delta R}={\delta a_{R} \over \delta R}+{2 \over R}\alpha R\ \ \ (E.19)$

Invitiamo il lettore a mostrare che l'espressione della divergenza per un vettorea arbitrario assume la forma

$div\ \mathbf {a} ={1 \over R^{2}}{\delta \over \delta R}(R^{2}\ a_{R})+{1 \over R\ sen\ \theta }{\delta \over \delta \ \theta }(sen\ \theta a_{0})+{1 \over R\ sen\ \theta }{\delta a_{\alpha } \over \delta \alpha }\ \ \ \ (E.20)$

Esempio 2°. Determinare la divergenza di un vettore $\mathbf {a}$ arbitrario in un sistema cilindrico di coordinate z, r, e α (fig. accanto)

Siano a_z, a_r e a_α le componenti rispettivamente, del vettore a, nella direzione di crescita delle coordinate z, r e α.

Applichiamo l'equazione (E.18) al volume confinato tra due superfici cilindriche aventi i raggi r e r+dr, due piani meridiani α=α₁ e α=α₁+dα, e due piani perpendicolari all'asse z: z=z₁ e z=z₁+dz. Il flusso del vettore a attraverso un elemento d'area della superficie cilindrica avente il raggio r è -a_rr dα dz; for una superficie cilindrica avente il raggio r+dr è (con una accuratezza fino al secondo ordine infinitesimale), mentre la somma dei flussi attraverso le entrambe superfici cilindriche è

${\delta \over \delta \ r}(ra_{r})\ d\alpha \ dz\ dr$

Calcolando nella medesima maniera il flusso del vettore attraverso gli elementi d'area rimanenti della superficie del volume dV, otteniamo

$\oint a_{n}\ dS=[{\delta \over \delta r}(ra_{r})+r{\delta a_{z} \over \delta z}+{\delta a_{\alpha } \over \delta \alpha }]\ dr\ dz\ d\alpha$

Poiché dV=r dα dz dr, allora l'equazione (E.18) porta al risultato

$div\ \mathbf {a} ={\delta a_{z} \over \delta z}+{1 \over r}{\delta \over \delta r}(ra_{r})+{1 \over r}\cdot {\delta a_{\alpha } \over \delta \alpha }\ \ \ \ (E.22)$