Analisi vettoriale/Derivata direzionale di un vettore

Lo scalare $div\ \mathbf {a}$ ed il vettore $rot\ \mathbf {a}$, come abbiamo già indicato, possono venire chiamati le derivate spaziali vettoriali e scalari del vettore $\mathbf {a}$, rispettivamente. Esse hanno un significato geometrico diretto che consegue dalle equazioni E.18 e E.29, e insieme con il gradiente di uno scalare sono i concetti fondamentali dell'analisi vettoriale.

L'associazione dei valori dello scalare $div\ \mathbf {a}$ e del vettore $rot\ \mathbf {a}$ ad un dato punto, tuttavia, non è sufficiente per determinare in questo punto la derivata direzionale arbitraria del vettore $\mathbf {a}$ (laddove la derivata direzionale arbitraria dello scalare $\phi$ è determinata inequivocabilmente con il collocamento del vettore $grad\ \phi$).

Infatti, la derivata di un vettore $\mathbf {a}$ rispetto ad una direzione arbitraria C può venire determinata procedendo secondo la seguente costruzione geometrica. Assumiamo che i valori di un vettore a in due punti vicini P e P' uguaglino i valori a e a' , rispettivamente, e che la direzione del segmento $\Delta c$ sia quella di c. Se la differenza tra a e a' uguaglia $\Delta \mathbf {a}$, allora la derivata ${\delta \mathbf {a} \over \delta c}$ sarà

${\delta \mathbf {a} \over \delta c}=\lim _{PP'\to 0}{\mathbf {a'} -\mathbf {a} \over PP'}=\lim _{\Delta c\to 0}{\Delta \mathbf {a} \over \Delta c}\ \ \ \ (E.33)$

Così, la direzione del vettore ${\delta \mathbf {a} \over \delta c}$ coincide con la direzione limite del vettore $\Delta \mathbf {a}$, ma generalmente differisce dalla direzione dei vettori $\mathbf {a}$ e $\mathbf {c}$

Inoltre, se le coordinate dei punti P e P' differiscono l'uno dall'altro di $\Delta _{x}$, $\Delta _{y}$ e $\Delta _{z}$, allora con una accuratezza fino al secondo ordine infinitesimale, otteniamo

$\mathbf {a'} -\mathbf {a} ={\delta \mathbf {a} \over \delta x}\Delta x+{\delta \mathbf {a} \over \delta y}\Delta y+{\delta \mathbf {a} \over \delta z}\Delta z$

Introducendo ciò nella equazione precedente e prendendo in considerazione che

${\Delta x \over PP'}=cos(x,\mathbf {c} )\,{\Delta y \over PP'}=cos(y,\mathbf {c} )\,{\Delta z \over PP'}=cos(z,\mathbf {c} )$

otteniamo

${\delta \mathbf {a} \over \delta c}=\lim _{PP'\to 0}{\mathbf {a'} -\mathbf {a} \over PP'}=cos(x,\mathbf {c} ){\delta \mathbf {a} \over \delta x}+cos(x,\mathbf {c} ){\delta \mathbf {a} \over \delta y}+cos(x,\mathbf {c} ){\delta \mathbf {a} \over \delta z}\ \ \ \ (E.34)$

Perciò, per determinare la derivata direzionale casuale di un vettore $\mathbf {a}$ in un dato punto, si deve set nove quantità: le tre componenti ${\delta a_{x} \over \delta x},{\delta a_{x} \over \delta x},{\delta a_{x} \over \delta x}$ della quantità ${\delta \mathbf {a} \over \delta x}$ e, corrispondentemente, tre componenti di ciascuna delle quantità ${\delta \mathbf {a} \over \delta y}$ e ${\delta \mathbf {a} \over \delta z}$.

La combinazione di queste nove quantità forma le componenti di un tensore stabilendo le quali si determinano entrambe le derivate direzionali casuali del vettore $\mathbf {a}$ e i valori delle quantità $div\ \mathbf {a}$ e $rot\ \mathbf {a}$