Analisi vettoriale/Derivata direzionale di un vettore

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Lo scalare ed il vettore , come abbiamo già indicato, possono venire chiamati le derivate spaziali vettoriali e scalari del vettore , rispettivamente. Esse hanno un significato geometrico diretto che consegue dalle equazioni E.18 e E.29, e insieme con il gradiente di uno scalare sono i concetti fondamentali dell'analisi vettoriale.

L'associazione dei valori dello scalare e del vettore ad un dato punto, tuttavia, non è sufficiente per determinare in questo punto la derivata direzionale arbitraria del vettore (laddove la derivata direzionale arbitraria dello scalare è determinata inequivocabilmente con il collocamento del vettore ).

Infatti, la derivata di un vettore rispetto ad una direzione arbitraria C può venire determinata procedendo secondo la seguente costruzione geometrica. Assumiamo che i valori di un vettore a in due punti vicini P e P' uguaglino i valori a e a' , rispettivamente, e che la direzione del segmento sia quella di c. Se la differenza tra a e a' uguaglia , allora la derivata sarà

Costruzione geometrica della derivata di un vettore.png

Così, la direzione del vettore coincide con la direzione limite del vettore , ma generalmente differisce dalla direzione dei vettori e

Inoltre, se le coordinate dei punti P e P' differiscono l'uno dall'altro di , e , allora con una accuratezza fino al secondo ordine infinitesimale, otteniamo

Introducendo ciò nella equazione precedente e prendendo in considerazione che

otteniamo

Perciò, per determinare la derivata direzionale casuale di un vettore in un dato punto, si deve set nove quantità: le tre componenti della quantità e, corrispondentemente, tre componenti di ciascuna delle quantità e .

La combinazione di queste nove quantità forma le componenti di un tensore stabilendo le quali si determinano entrambe le derivate direzionali casuali del vettore e i valori delle quantità e