Analisi vettoriale/Operatore vettoriale, derivate seconde, derivate di un prodotto

1. Precedentemente ci siamo famigliarizzati con un numero di operazioni differenziali su vettori e scalari: la formazione del gradiente di uno scalare (E.6), la divergenza di un vettore (E.18), il rotore di un vettore (E.29), etc. L'operare con queste espressioni può venire semplificato e disposto in uno schema armonioso e semplice introducendo l'operatore differenziale hamiltoniano simbolico. Questo operatore è designato col simbolo $\mathrm{\nabla }$ (operatore Nabla). Nel sistema cartesiano di coordinate ha la forma

$\mathrm{\nabla }=𝐢\frac{\delta }{\delta x}+𝐣\frac{\delta }{\delta y}+𝐤\frac{\delta }{\delta z}(E.35)$

in cui i, j e k sono i versori lungo gli assi x, y e z. In altri termini, $\mathrm{\nabla }$ è un operatore vettoriale le cui componenti lungo le coordinate sono

${\mathrm{\nabla }}_x=\frac{\delta }{\delta x},{\mathrm{\nabla }}_y=\frac{\delta }{\delta y},{\mathrm{\nabla }}_z=\frac{\delta }{\delta z}(E.36)$

Questo operatore vettoriale corrisponde nella analisi vettoriale al simbolo di derivazione nella analisi convenzionale. Nella analisi convenzionale il differenziale di una funzione può essere considerato come il prodotto dell'operatore differenziale d e la funzione differenziabile. Analogamente, moltiplicando scalari e vettori funzioni di posizione per l'operatore $\mathrm{\nabla }$, si ottengono le derivate spaziali di queste quantità.

Per esempio, il prodotto di $\mathrm{\nabla }$ per lo scalare $\varphi$ ovviamente dovrebbe venire dato per scontato di uguagliare

$\mathrm{\Delta }\varphi =(𝐢\frac{\delta }{\delta x}+𝐣\frac{\delta }{\delta y}+𝐤\frac{\delta }{\delta k})\varphi =𝐢\frac{\delta \varphi }{\delta x}+𝐣\frac{\delta \varphi }{\delta y}+𝐤\frac{\delta \varphi }{\delta k}$

Perciò, secondo l'equazione (E.6), si ha

$\mathrm{\nabla }\varphi =grad\varphi (E.37)$

Perciò, $\mathrm{\nabla }\varphi$ può effettiva,emte venire chiamato la derivata spaziale di $\varphi$ perché il vettore $grad\varphi$ caratterizza totalmente le variazioni che lo scalare $\varphi$ subisce sullo spostamento del punto di osservazione (su un cambiamento nelle coordinate x, y, e z). Allo stesso modo, alte espressioni che includono l'operatore $\mathrm{\nabla }$ pure caratterizzano varie relazioni tra i valori delle funzioni scalari e vettoriali in punti adiacenti dello spazio.

Con certe limitazioni che verranno trattate di seguito, possiamo formare dei prodotti di $\mathrm{\nabla }$ con altri vettori e scalari come se $\mathrm{\nabla }$ fosse un vero vettore e non un simbolo. Come quando si impiega il simbolo del differenziale, si dà per scontato che l'operatore $\mathrm{\nabla }$ agisce solamente sulle quantità alla sua destra.

Per esempio, il prodotto scalare di $\mathrm{\nabla }$ vettore simbolico ed un qualunque vettore $𝐚$ è

$\mathrm{\nabla }𝐚={\mathrm{\nabla }}_x{a}_x+{\mathrm{\nabla }}_y{a}_y+{\mathrm{\nabla }}_z{a}_z=\frac{\delta a_x}{\delta x}+\frac{\delta a_y}{\delta y}+\frac{\delta a_z}{\delta z}$

Parimenti secondo la equazione (E.15)

$\mathrm{\nabla }𝐚=div𝐚(E.38)$

A parte il prodotto scalare del vettore simbolico $\mathrm{\nabla }$ed un vettore $𝐚$, è possibile pure formare il prodotto vettoriale di questi vettori che, come può essere facilmente visto, è il rotore del vettore $𝐚$:

$[\mathrm{\nabla }𝐚]=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\delta }{{\delta }_x}& \frac{\delta }{\delta y}& \frac{\delta }{{\delta }_z}\\ a_x& a_y& a_z\end{array}\right|=rot𝐚(E.39)$

Pertanto, la componente del vettore $[\mathrm{\nabla }𝐚]$ lungo l'asse x è

$[\mathrm{\nabla }𝐚{]}_x={\mathrm{\nabla }}_y{a}_x-{\mathrm{\nabla }}_z{a}_y=\frac{\delta a_z}{\delta y}-\frac{\delta a_y}{\delta z}=ro{t}_x𝐚$

2. La utilizzazione dell'operatore ∇ semplifica grandemente l'ottenimento della derivata seconda ed successive delle quantità scalari e vettoriali. Per esempio, il quadrato del vettore ∇ è

${\mathrm{\nabla }}^2={\mathrm{\nabla }}_x^2+{\mathrm{\nabla }}_y^2+{\mathrm{\nabla }}_z^2=\frac{\delta }{\delta x}\frac{\delta }{\delta x}+\frac{\delta }{\delta y}\frac{\delta }{\delta y}+\frac{\delta }{\delta z}\frac{\delta }{\delta z}=\frac{{\delta }^2}{\delta x^2}+\frac{{\delta }^2}{\delta y^2}+\frac{{\delta }^2}{\delta z^2}$

Pertanto, discutendo sul significato del prodotto ∇(∇φ) secondo le regole dell'algebra vettoriale

$𝐛(𝐛\varphi )={𝐛}^2\varphi$

si ottiene

$divgrad\varphi =\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\varphi )={\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{{\delta }^2\varphi }{\delta x^2}+\frac{{\delta }^2\varphi }{\delta y^2}+\frac{{\delta }^2\varphi }{\delta z^2}(E.40)$

(l'operatore ∇² viene sovente designato con Δ e chiamato operatore laplaciano.)

Ci possiamo convincere della validità di questa equazione tramite dei calcoli diretti con l'aiuto delle equazioni (E.5) e (E.15):

$divgrad\varphi =\frac{\delta gra{d}_x\varphi }{dx}+\frac{\delta gra{d}_y\varphi }{dy}+\frac{\delta gra{d}_z\varphi }{dz}=\frac{{\delta }^2\varphi }{dx}+\frac{{\delta }^2\varphi }{dy}+\frac{{\delta }^2\varphi }{dz}$

La espressione per $graddiv𝐚$ ha un significato assolutamente differente:

$graddiv𝐚=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }𝐚)=(𝐢\frac{\delta }{\delta x}+𝐣\frac{\delta }{\delta y}+𝐤\frac{\delta }{\delta z})\times (\frac{\delta a_x}{\delta x}+\frac{\delta a_y}{\delta y}+\frac{\delta a_z}{\delta z})$

Non uguaglia affatto ${\mathrm{\nabla }}^2𝐚$, giusto come quando si opera con i vettori convenzionali

$𝐛\mathbf{(}𝐛𝐚\mathbf{)}\ne b^2𝐚$

La espressione ${\mathrm{\nabla }}^2𝐚$ ovviamente ha il seguente significato:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐚=(\mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla })𝐚=\frac{{\delta }^2𝐚}{\delta x^2}+\frac{{\delta }^2𝐚}{\delta y^2}+\frac{{\delta }^2𝐚}{\delta z^2}(E.41)$

ossia è un vettore la cui componente lungo l'asse x, per esempio, è

$({\mathrm{\nabla }}^2𝐚{)}_x={\mathrm{\nabla }}^2{a}_x=\frac{{\delta }^2{a}_x}{\delta x^2}+\frac{{\delta }^2{a}_x}{\delta y^2}+\frac{{\delta }^2{a}_x}{\delta z^2}(E.41a)$

Ovviamente, ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi$ e ${\mathrm{\nabla }}^2𝐚$ non devono venire scambiati per $(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2)$ e $(\mathrm{\nabla }𝐚{)}^2$; per esempio

$(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2=(grad\varphi {)}^2=(\frac{\delta \varphi }{\delta x}{)}^2+(\frac{\delta \varphi }{\delta y}{)}^2+(\frac{\delta \varphi }{\delta z}{)}^2$

Le note formule dell'algebra vettoriale

$[𝐛(𝐛\varphi )]=0$, $𝐛[𝐛𝐚]=0$ e $[𝐛[𝐛𝐚]]=𝐛(𝐛𝐚)-(𝐛𝐛)𝐚$

permangono corrette quando il vettore $𝐛$ viene sostituito con il vettore simbolico $\mathrm{\nabla }$, qualunque sia il valore di a e di φ):

$(E.42)\{\begin{array}{c}[𝐛(\mathrm{\nabla }\varphi )]=[\mathrm{\nabla }grad\varphi ]=rotgrad\varphi =0\\ \mathrm{\nabla }[\mathrm{\nabla }𝐚]=\mathrm{\nabla }rot𝐚=divrot𝐚=0\\ \mathrm{\nabla }[\mathrm{\nabla }𝐚]]=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }𝐚)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐚orotrot𝐚=graddiv𝐚-{\mathrm{\nabla }}^2𝐚\end{array}$

Ci possiamo facilmente convincere che queste relazioni sono corrette calcolandole direttamente nelle coordinate cartesiane. Per esempio:

$divrot𝐚=\frac{\delta ro{t}_x𝐚}{\delta x}+\frac{\delta ro{t}_y𝐚}{\delta y}+\frac{\delta ro{t}_z𝐚}{\delta z}=\frac{\delta }{\delta x}(\frac{\delta a_z}{\delta y}-\frac{\delta a_y}{\delta z})+\frac{\delta }{\delta y}(\frac{\delta a_x}{\delta z}-\frac{\delta a_z}{\delta x})+\frac{\delta }{\delta z}(\frac{\delta a_y}{\delta x}-\frac{\delta a_x}{\delta y})=0$

3. Così, dato che l'operatore $\mathrm{\nabla }$ è un moltiplicatore nei prodotti che contengono solamente un singolo vero scalare o vettore, questi prodotti possono venire trasformati in base alle convenzionali regole dell'algebra vettoriale. In qualunque modo, dovesse un prodotto contenere due o più scalari o vettori veri, allora queste regole non possono essere più a lungo applicate e richiedono delle modifiche. Assolutamente lo stesso accade pure nelle analisi convenzionali quando delle quantità algebriche siano simbolicamente moltiplicate dal segno di differenziale d.

Simile a come

$d(\varphi \mathrm{\Phi })=\mathrm{\Phi }d\varphi +\varphi d\mathrm{\Phi }$

$(E.43)\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }(\varphi \mathrm{\Phi })=\varphi (\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi })+\mathrm{\Phi }(\mathrm{\nabla }\varphi )\\ \mathrm{\nabla }(\varphi 𝐚)=\varphi (\mathrm{\nabla }𝐚)+𝐚(\mathrm{\nabla }\varphi )\\ \mathrm{\nabla }(\varphi 𝐚)]=\varphi [\mathrm{\nabla }𝐚]\end{array}$

La correttezza di queste relazioni può venire verificata con una valutazione diretta. Per esempio:

$\mathrm{\nabla }(\varphi \mathrm{\Phi })=𝐢\frac{\delta }{\delta x}(\varphi \mathrm{\Phi })+𝐣\frac{\delta }{\delta y}(\varphi \mathrm{\Phi })+𝐤\frac{\delta }{\delta z}(\varphi \mathrm{\Phi })=$

$𝐢(\varphi \frac{\delta \mathrm{\Phi }}{\delta x}+\mathrm{\Phi }\frac{\delta \varphi }{\delta x})+𝐣(\varphi \frac{\delta \mathrm{\Phi }}{\delta x}+\mathrm{\Phi }\frac{\delta \varphi }{\delta y})+𝐤(\varphi \frac{\delta \mathrm{\Phi }}{\delta x}+\mathrm{\Phi }\frac{\delta \varphi }{\delta z})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{\nabla }\varphi )+\varphi (\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi })$

Gli argomenti sono in qualche modo più complessi in merito alla differenziazione scalare del prodotto di due vettori.

Ci rivolgiamo, anzitutto, all'espressione

$\mathrm{\nabla }[𝐚𝐛]=div[𝐚𝐛]$

Per vettori convenzionali, le seguenti espressioni sono valide:

$𝐜[𝐚𝐛]=𝐛[𝐜𝐚]=-𝐚[𝐜𝐛]$

cioè che

$div[𝐚𝐛]=𝐛rot𝐚-𝐚rot𝐛(E.44)$

È noto che nel calcolare il prodotto $𝐜(𝐚𝐛)$ di tre vettori si deve prima eseguire la moltiplicazione scalare dei vettori a e b e poi moltiplicarli per c. Di conseguenza, l'espressione

$\mathrm{\nabla }(𝐚𝐛=grad(𝐚𝐛)$

non può essere scritta nella forma della somma di due termini in ciascuno dei quali solo uno dei fattori viene differenziato. Possiamo inoltre mostrare che tale trasformazione non può pure essere eseguita riguardo alla espressione:

$[\mathrm{\nabla }[𝐚𝐛]]=rot[𝐚𝐛]$

Le relative formule sono:

$grad(𝐚𝐛)=(𝐛\mathrm{\nabla })𝐚+(𝐚\mathrm{\nabla })𝐛+[𝐛rot𝐚]+[𝐚rot𝐛](E.45)$

$rot[𝐚𝐛]=(𝐛\mathrm{\nabla })𝐚-(𝐚\mathrm{\nabla })𝐛+𝐚div𝐛-𝐛div𝐚(E.46)$

Nel caso particolare quando $𝐛=costante$ ed $𝐚=𝐑$, in cui R è un vettore posizione, non è difficile mostrare che l'equazione (E.45) diventa la medesima cosa della equazione (E.11):

$\mathrm{\nabla }(𝐛𝐑)=gra{d}_a(𝐛𝐑)=𝐛$

Inoltre, assumendo che nella equazione (E.45) a sia uguale a b,si ottiene

$\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{a}^2=(𝐚\mathrm{\nabla })𝐚+[𝐚rot𝐚](E.47)$

4. Ci rimane da considerare l'operatore scalare $𝐚\mathrm{\nabla }$ ottenuto con la moltiplicazione di un vettore generico a per l'operatore hamiltoniano $\mathrm{\nabla }$ sulla destra di a(differente da $\mathrm{\nabla }𝐚=div𝐚):$

$𝐚\mathrm{\nabla }=a_x\frac{\delta }{\delta x}+a_y\frac{\delta }{\delta y}+a_z\frac{\delta }{\delta z}(E.48)$

Nel particolare caso in cui a=1 l'operatore $𝐚\mathrm{\nabla }$ è ovviamente l'equivalente di trovare la derivata $\frac{\delta }{\delta a}$ rispetto alla direzione del vettore unitario a. Genericamente, l'adempimento dell'operatore $𝐚\mathrm{\nabla }$ su una funzione di posizione arbitraria equivale alla moltiplicazione della derivata di questa funzione rispetto alla direzione del vettore a per il valore assoluto del suo modulo. In altre parole:

$𝐚\mathrm{\nabla }=a\frac{\delta }{\delta a}(E.49)$

Infatti, nell'eseguire l'operazione $𝐚\mathrm{\nabla }$ su uno scalare $\varphi$ si ottiene lo scalare

$𝐚\mathrm{\nabla }\varphi =a_x\frac{\delta \varphi }{\delta x}+a_y\frac{\delta \varphi }{\delta y}+a_z\frac{\delta \varphi }{\delta z}=𝐚\mathrm{\nabla }\varphi$

ovvero sulla base delle (E.4) si ottiene $𝐚\mathrm{\nabla }\varphi =𝐚grad\varphi =a\frac{\delta \varphi }{\delta a}$ conforme alla (E.49)

Al termine dell'operazione $𝐚\mathrm{\nabla }$ sul vettore arbitrario b, tuttavia, otteniamo il vettore

$(𝐚\mathrm{\nabla })𝐚=𝐚\mathrm{\nabla }𝐛=a_x\frac{\delta 𝐛}{\delta x}+a_y\frac{\delta 𝐛}{\delta y}+a_z\frac{\delta 𝐛}{\delta z}(E.50a)$

la cui componente, per esempio, lungo l'asse x è

$(𝐚\mathrm{\nabla }𝐛{)}_x=a_x\frac{\delta b_x}{\delta x}+a_y\frac{\delta b_x}{\delta y}+a_z\frac{\delta b_x}{\delta z}=(𝐚\mathrm{\nabla })b_x(E.50b)$

D'altra parte, la derivata del vettore b rispetto alla direzione di a, secondo la (E.34), è

$\frac{\delta 𝐛}{\delta a}=cos(x,𝐚)\frac{\delta 𝐛}{\delta x}+cos(y,𝐚)\frac{\delta 𝐛}{\delta y}+cos(z,𝐚)\frac{\delta 𝐛}{\delta z}$

Moltiplicando questa equazione per a e comparando il risultato con l'equazione (E.50a), si nota infatti che

$𝐚\mathrm{\nabla }𝐛=a\frac{\delta 𝐛}{\delta a}(E.51)$

CVD - Quindi, se il vettore a è piccolo a sufficienza, allora $𝐚\mathrm{\nabla }\varphi$ e $𝐚\mathrm{\nabla }𝐛$ uguagliano rispettivamente, con una precisione fino agli infinitesimi di secondo ordine, l'incremento dello scalare $\varphi$ ed il vettore b quando il punto di osservazione è spostato su una distanza uguale in grandezza e direzione al vettore a.

5. Le operazioni elementari di differenziazione spaziale consistono della formazione del gradiente, della divergenza, del rotore e della derivata $\frac{\delta 𝐛}{\delta a}$. Tutte queste operazioni, come abbiamo visto, per esempio, nelle Equazioni (E.3), (E.18), (E.29), e (E.33), hanno un significato geometrico definito e sono pertanto invarianti rispetto alla trasformazione del sistema di coordinate. In altri temini, il valore delle espressioni $grad\varphi ,div𝐚,rot𝐚,\frac{\delta 𝐛}{\delta a}$ non dipendono sulla scelta del sistema di coordinate. Tutte le relazioni tra le espressioni differenziali che abbiamo derivato sono pure di natura invariante poiché, anche se quando le abbiamo provate abbiamo sempre impiegato il sistema cartesiano di coordinate. le medesime relazioni comprendono solamente tali espressioni invarianti quali $grad\varphi ,div𝐚,rot𝐚$. Conseguentemente, la forma di queste relazioni non possono variare quando si passi su altri sistemi ci coordinate.