Calcoli scientifici con Julia/Circuiti elettrici

Esempio 1

Dato il seguente circuito lineare, si vuole determinare il valore delle correnti $I_{1},I_{2},I_{3}$:

Applicando le leggi di Kirchoff si ottiene un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite :

$I_{1}=I_{3}+I_{2}$

$E_{1}=I_{3}\,R_{3}+I_{1}\,\left(R_{2}+R_{1}\right)$

$-E_{2}=I_{2}\,\left(R_{5}+R_{4}\right)-I_{3}\,R_{3}$

Se i dati sono i seguenti :

$R_{1}=2\,\varOmega$

$R_{2}=11\,\varOmega$

$R_{3}=20\,\varOmega$

$R_{4}=2\,\varOmega$

$E_{1}=40\,V$

$E_{2}=20\,V$

si può risolvere il sistema con Julia :

A=[-1 1 1;13 0 20;0 2 -20]

3×3 Matrix{Int64}:
-1  1    1
13  0   20
 0  2  -20

b=[0, 40, -20]

3-element Vector{Int64}:
  0
 40
-20

A\b

3-element Vector{Float64}:

1.4723926380368098
0.4294478527607364
1.0429447852760736

Quindi si ottiene :

$I_{1}=1,47A,I_{2}=0,42A,I_{3}=1,04A$

Esempio 2

Dato il seguente circuito lineare del secondo ordine, si vuole determinare il valore delle tensioni e correnti $v_{C},i_{L}$:

Applicando le leggi di Kirchoff si ottiene un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite :

$i_{1}=i_{C}+i_{L}$

$v_{C}=v_{L}+Ri_{L}$

$-E=Ri_{1}-v_{C}$

Se i dati sono i seguenti :

$R=1\,\varOmega$

$E=-20\,V$

$L=5\,\mu H$

$C=5\,\mu F$

si ottiene il sistema di equazioni differenziali:

${\frac {dv_{C}}{dt}}=-4-{\frac {v_{C}}{5}}-{\frac {i_{L}}{5}}$

${\frac {di_{L}}{dt}}={\frac {v_{C}}{5}}-{\frac {i_{L}}{5}}$

con condizioni iniziali :

$i_{C}(0)=10A,v_{L}(0)=10V$

Risolvendo tale sistema con Julia si ha:

function ode_fn(du,u,p,t)
    x, y = u
    du[1] = -4 - x/5- y/5
    du[2] = x/5 - y/5
end

using DifferentialEquations
using Plots


t_begin=0.0
t_end=30
tspan = (t_begin,t_end)
x_init=10.0
y_init=10.0

prob = ODEProblem(ode_fn, [x_init, y_init], tspan)
num_sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)
x_num_sol = [u[1] for u in num_sol.u]
y_num_sol = [u[2] for u in num_sol.u]

plot(num_sol.t, x_num_sol,
    title="Tensione su C e corrente su L",
    xaxis="t",
    linewidth=2,
    label="Tensione su C")
plot!(num_sol.t, y_num_sol,
    linewidth=2,
    label="Corrente su L")