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Trattazione matematica

Al tempo t=0 viene erogato un mutuo d'importo $M_{0}$ . Tale somma viene restituita con rate costanti di importo R pagate a partire dal tempo t=1 pertanto se si considera l'anno come unità di misura allora R è la rata annuale (conoscendo la rata mensile basta moltiplicarla per 12).

Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse su debito residuo $M_{t}$ si ha che:

\ M_{t+1}=M_{t}+rM_{t}-R=(1+r)M_{t}-R

Calcolando $M_{1}$ cioè il mutuo dopo 1 anno si ha:

\ M_{1}=(1+r)M_{0}-R

Calcolando $M_{2}$ cioè il mutuo dopo 2 anni si ha:

\ M_{2}=(1+r)M_{1}-R=(1+r)^{2}M_{0}-R(1+r)-R

Calcolando $M_{3}$ cioè il mutuo dopo 3 anni si ha:

\ M_{3}=(1+r)M_{2}-R=(1+r)^{3}M_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

Pertanto il mutuo al tempo t sarà:

\ M_{t}=(1+r)M_{t-1}-R=(1+r)^{t}M_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

Posto:

\ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

Riscriviamo $M_{t}$ come:

\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione $S_{t}$ per $-(1+r)$ si ha:

\ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r)

Sommando membro a membro le 2 equazioni si ottiene:

\ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R

Da cui si ricava:

\ S_{t}=-{\dfrac {R}{r}}\left((1+r)^{t}-1\right)

Allora il mutuo al tempo t risulta uguale a:

\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}

Considerando la successione $M_{t}$ continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:

$\ {\dfrac {d(M(t))}{dt}}=(1+r)^{t}log(1+r)\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)$

per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per $R<=M_{0}r$ e quindi in tal caso il mutuo non si estinguerebbe mai, mentre per $R>M_{0}r$ la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il mutuo si estingue.

Volendo calcolare dopo quanto tempo il mutuo si estingue bisogna imporre la condizione:

M_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}=0

da cui si ottiene l'equazione esponenziale:

(1+r)^{t_{*}}=\left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)

pertanto passando ai logaritmi si ottiene che il tempo $t_{*}$ in corrispondenza del quale il mutuo si estingue è:

t_{*}={\dfrac {\log \left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)}{\log(1+r)}}

mentre la rata annuale per estinguere il mutuo in un tempo annuale $t_{*}$ al tasso di interesse r è:

R={\frac {{M_{0}}r\,{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}}{{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}-1}}

Esempio di calcolo con Julia

Calcolare la rata mensile di un mutuo di 200.000€ al tasso del 3,5% in 25 anni. Si ottiene una rata mensile di 1001,25€ :

function rata_mutuo(capitale, tasso_annuo, anni)
    r = tasso_annuo / 12
    n = anni * 12
    rata = capitale * r * (1 + r)^n / ((1 + r)^n - 1)
    return round(rata, digits=2)
end

rata = rata_mutuo(200_000, 0.035, 25)
println("Rata mensile: €$rata")

Rata mensile: €1001.25

Calcolare gli anni necessari affinché un mutuo di 136.000€ al tasso del 3,5% con una rata mensile di 616€ si estingua. Si ottiene un tempo di 30 anni:

function tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito() 
           M=136000;
           R=616*12;
           r=0.035;
           print("Un mutuo o prestito di $M € con un tasso di interesse del 3,5% e una rata mensile di 616€ si estingue in anni:")
           println(log(R/(R-M*r))/log(1+r))
        end

tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito()

30.017775988227683

Volendo infine calcolare il tasso di interesse annuo di un mutuo di 136.000€ con una rata mensile di 616€ per 30 anni, utilizzando la libreria Roots si ottiene un tasso pari a r=0,035 = 3,5%:

using Roots
M=136000;
R=616*12;
t=30;
y(r)=-R +(M*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1);
find_zero(y,0.1)

0.034973001159437175

Piano di ammortamento

Il piano di ammortamento descrive come ogni rata di un mutuo si divide tra quota interessi e quota capitale, e come il debito residuo decresce nel tempo. Il concetto chiave è che all'inizio si pagano soprattutto interessi (il debito è alto), mentre verso la fine si rimborsa quasi solo capitale (ammortamento alla francese).

In Julia:

function piano_ammortamento(capitale, tasso_annuo, anni)
    r = tasso_annuo / 12
    n = anni * 12
    rata = rata_mutuo(capitale, tasso_annuo, anni)
    saldo = capitale
    for mese in 1:n
        interessi = round(saldo * r, digits=2)
        quota_capitale = round(rata - interessi, digits=2)
        saldo = round(saldo - quota_capitale, digits=2)
        println("Mese $mese | Rata: €$rata | Interessi: €$interessi | Capitale: €$quota_capitale | Saldo: €$saldo")
    end
end

piano_ammortamento(200_000, 0.035, 25)

Mese 1 | Rata: €1001.25 | Interessi: €583.33 | Capitale: €417.92 | Saldo: €199582.08
Mese 2 | Rata: €1001.25 | Interessi: €582.11 | Capitale: €419.14 | Saldo: €199162.94
Mese 3 | Rata: €1001.25 | Interessi: €580.89 | Capitale: €420.36 | Saldo: €198742.58
Mese 4 | Rata: €1001.25 | Interessi: €579.67 | Capitale: €421.58 | Saldo: €198321.0
Mese 5 | Rata: €1001.25 | Interessi: €578.44 | Capitale: €422.81 | Saldo: €197898.19
Mese 6 | Rata: €1001.25 | Interessi: €577.2 | Capitale: €424.05 | Saldo: €197474.14
Mese 7 | Rata: €1001.25 | Interessi: €575.97 | Capitale: €425.28 | Saldo: €197048.86
Mese 8 | Rata: €1001.25 | Interessi: €574.73 | Capitale: €426.52 | Saldo: €196622.34
Mese 9 | Rata: €1001.25 | Interessi: €573.48 | Capitale: €427.77 | Saldo: €196194.57
Mese 10 | Rata: €1001.25 | Interessi: €572.23 | Capitale: €429.02 | Saldo: €195765.55
Mese 11 | Rata: €1001.25 | Interessi: €570.98 | Capitale: €430.27 | Saldo: €195335.28
Mese 12 | Rata: €1001.25 | Interessi: €569.73 | Capitale: €431.52 | Saldo: €194903.76
Mese 13 | Rata: €1001.25 | Interessi: €568.47 | Capitale: €432.78 | Saldo: €194470.98
Mese 14 | Rata: €1001.25 | Interessi: €567.21 | Capitale: €434.04 | Saldo: €194036.94
Mese 15 | Rata: €1001.25 | Interessi: €565.94 | Capitale: €435.31 | Saldo: €193601.63
Mese 16 | Rata: €1001.25 | Interessi: €564.67 | Capitale: €436.58 | Saldo: €193165.05
Mese 17 | Rata: €1001.25 | Interessi: €563.4 | Capitale: €437.85 | Saldo: €192727.2
Mese 18 | Rata: €1001.25 | Interessi: €562.12 | Capitale: €439.13 | Saldo: €192288.07
Mese 19 | Rata: €1001.25 | Interessi: €560.84 | Capitale: €440.41 | Saldo: €191847.66
Mese 20 | Rata: €1001.25 | Interessi: €559.56 | Capitale: €441.69 | Saldo: €191405.97
--------------------------------------------------------------
Mese 280 | Rata: €1001.25 | Interessi: €59.4 | Capitale: €941.85 | Saldo: €19423.31
Mese 281 | Rata: €1001.25 | Interessi: €56.65 | Capitale: €944.6 | Saldo: €18478.71
Mese 282 | Rata: €1001.25 | Interessi: €53.9 | Capitale: €947.35 | Saldo: €17531.36
Mese 283 | Rata: €1001.25 | Interessi: €51.13 | Capitale: €950.12 | Saldo: €16581.24
Mese 284 | Rata: €1001.25 | Interessi: €48.36 | Capitale: €952.89 | Saldo: €15628.35
Mese 285 | Rata: €1001.25 | Interessi: €45.58 | Capitale: €955.67 | Saldo: €14672.68
Mese 286 | Rata: €1001.25 | Interessi: €42.8 | Capitale: €958.45 | Saldo: €13714.23
Mese 287 | Rata: €1001.25 | Interessi: €40.0 | Capitale: €961.25 | Saldo: €12752.98
Mese 288 | Rata: €1001.25 | Interessi: €37.2 | Capitale: €964.05 | Saldo: €11788.93
Mese 289 | Rata: €1001.25 | Interessi: €34.38 | Capitale: €966.87 | Saldo: €10822.06
Mese 290 | Rata: €1001.25 | Interessi: €31.56 | Capitale: €969.69 | Saldo: €9852.37
Mese 291 | Rata: €1001.25 | Interessi: €28.74 | Capitale: €972.51 | Saldo: €8879.86
Mese 292 | Rata: €1001.25 | Interessi: €25.9 | Capitale: €975.35 | Saldo: €7904.51
Mese 293 | Rata: €1001.25 | Interessi: €23.05 | Capitale: €978.2 | Saldo: €6926.31
Mese 294 | Rata: €1001.25 | Interessi: €20.2 | Capitale: €981.05 | Saldo: €5945.26
Mese 295 | Rata: €1001.25 | Interessi: €17.34 | Capitale: €983.91 | Saldo: €4961.35
Mese 296 | Rata: €1001.25 | Interessi: €14.47 | Capitale: €986.78 | Saldo: €3974.57
Mese 297 | Rata: €1001.25 | Interessi: €11.59 | Capitale: €989.66 | Saldo: €2984.91
Mese 298 | Rata: €1001.25 | Interessi: €8.71 | Capitale: €992.54 | Saldo: €1992.37
Mese 299 | Rata: €1001.25 | Interessi: €5.81 | Capitale: €995.44 | Saldo: €996.93
Mese 300 | Rata: €1001.25 | Interessi: €2.91 | Capitale: €998.34 | Saldo: €-1.41