Elettrotecnica/Condensatori

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Il caso più importante dal punto di vista pratico è quello relativo al sistema costituito da due soli conduttori; tale sistema prende il nome di condensatore. Consideriamo il caso semplice (benché importante nella pratica) di condensatore piano costituito da due superfici piane, cariche rispettivamente con densità superficiale e poste a distanza infinitesima.

Consideriamo, analogamente a quanto abbiamo fatto parlando del vettore D, una superficie chiusa di forma cilindrica avente come basi due elementi infinitesimi dS paralleli ad una delle superfici del condensatore e giacenti da parti opposte di questa ed avente come superficie laterale il tubo di forza tangente alle dS.

Il flusso del vettore D attraverso la superficie chiusa considerata è uguale, come abbiamo visto in precedenza, alla carica contenuta nella superficie chiusa:

figura 1

Data la simmetria del sistema D1 e D2 sono di valore uguale ma di verso opposto; si può scrivere perciò:

Analogo ragionamento può essere fatto per l'altra superficie piana del condensatore.

Il campo elettrico E nell'interno del condensatore è uguale alla somma dei campi dovuti alle superfici cariche con uguale densità σ ma con segno diverso, quindi si ha:

All'esterno del condensatore il campo elettrico è nullo. Infatti, ogni carica elementare +σ dS posta su una delle superfici del condensatore viene neutralizzata dalla carica -σ dS posta sull'altra superficie del condensatore a distanza infinitesima Δ dalla prima.

Le relazioni che legano i potenziali alle cariche in un sistema di conduttori diventano nel nostro caso di condensatore piano con armature di superficie S, poste a distanza infinitesima Δ (o comunque molto piccola rispetto ad S), e cariche rispettivamente con q1=+σ S=+q, q2=-σ S=-q :

da cui si ottiene:

dove con C, costante di proporzionalità tra q e (U2-U1), si è indicata la capacità del condensatore.

La differenza di potenziale (U2-U1) si ricava integrando l'espressione del campo elettrico ricavata prima:

perciò la capacita C assume il valore:

Vediamo, infine, di calcolare il lavoro che si deve eseguire per stabilire una differenza di potenziale (U2-U1) fra le armature di un condensatore. Per fare ciò si devono togliere le cariche positive da una armatura e trasferirle sull'altra.

Indichiamo con dq la carica infinitesima e con (U_2-U_1) la differenza di potenziale raggiunta ad un certo istante.

Il lavoro fatto per trasportare la carica dq da un punto a potenziale U_2 ad un altro a potenziale U_1 è:

e quindi:

}

Questo lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia potenziale elettrostatica entro il campo elettrico generato dalle cariche elettriche sulle armature. Se le armature sono a distanza infinitesima, il campo è diverso da zero (e costante) solo tra le armature stesse, perciò l'energia specifica per unità di volume è:

Tale relazione si può scrivere semplicemente, ricordando che è

che rappresenta l'energia dovuta ad un campo elettrostatico contenuta nell'unità dfi volume.