Elettrotecnica/Correnti costanti nei circuiti

Consideriamo in un conduttore una sezione S. Definiamo come intensità di corrente la carica che passa attraverso la superficie S nell'unità di tempo.

Se nel tempo dt passa la carica dq si avrà:

$\ i={dq \over dt}$

L'intensità di corrente i si misura evidentemente in $\ {Coulomb \over secondi}$. Tale unità di misura si chiama Ampere.

Definiamo ancora come densità di corrente $\ J({Ampere \over m^{2}})$ il rapporto tra l'intensità di corrente che passa attraverso una sezione di un conduttore e il valore della sezione stessa; evidentemente l'intensità di corrente che passa attraverso una sezione si può considerare come il flusso della densità di corrente attraverso la stessa superficie:

$\ i=\int _{S}^{}J\cos \theta \ ds=\Phi _{s}\quad (J)$

Passiamo ora a parlare della legge di Ohm. Affinché le cariche (gli elettroni) entro un conduttore si muovano è necessario che siano sottoposti ad un campo elettrico E non nullo.Ciò equivale a dire che tra due punti qualsiasi del conduttore deve venir mantenuta una differenza di potenziale.

La legge di Ohm fissa la dipendenza tra corrente i che scorre in un conduttore e differenza di potenziale che è necessario applicare ai suoi estremi:

$\ U_{2}-U_{1}=R\ i$

dove R è una costante chiamata resistenza del conduttore che si può esprimere in funzione delle caratteristiche fisiche del conduttore:

$\ R=\rho \ {l \over S}$

Con ρ (resistività) si è indicata una costate che dipende unicamente dal materiale da cui è costituito il conduttore e dalla sua temperatura. L'unità di resistenza è l' Ohm(Ω)=1 Volt/1 Ampere.

Le due relazioni precedenti si possono esprimere più sinteticamente in una sola relazione. Consideriamo, a tale scopo, un elemento infinitesimo di conduttore di sezione dS, di lunghezza dl, alle cui estremità sia applicata una differenza di potenziale dU.

Si può scrivere dalla definizione di densità di corrente:

$\ di=J\ dS$

La resistenza del conduttore è:

$\ R=\rho \ {dl \over dS}$

e quindi la legge di Ohm:

$\ dU=R\ di=\rho \ {dl \over dS}\ J\ dS=\rho \ dl\ J$

cioè:

$\ {dU \over dl}=\rho \ J$

pertanto si ha infine:

$\ E=\rho \ J$

relazione che lega il campo elettrico nel conduttore alla densità della corrente.

Finora abbiamo considerato elementi passivi, per i quali è necessario applicare dall'esterno una differenza di potenziale ai corpi per farvi circolare una corrente. Vi sono elementi, chiamati generatori, che hanno in se la capacità di creare ai loro estremi (poli) una differenza di potenziale. Ogni generatore è caratterizzato dalla forza elettromotrice (f.e.m.), che è la differenza di potenziale che si misura ai suoi capi quando non vi è passaggio di corrente. La definizione di f.e.m. discende dal fatto che ogni generatore ha una resistenza interna diversa da zero, per cui la differenza di potenziale ai suoi estremi è minore della f.e.m. nel caso di passaggio di corrente per effetto della caduta di potenziale nella resistenza.

Un generatore può essere, quindi, schematizzato come segue:

$\ U_{2}-U_{1}=f-r\$

dove f è il valore della f.e.m. del generatore ed r è la sua resistenza interna.

La legge di Ohm si può generalizzare al caso in cui un circuito comprenda resistenze e generatori. Consideriamo il circuito della figura seguente

Si è indicato con R il valore della resistenza del circuito, con f e r rispettivamente la f.e.m. e la resistenza interna del generatore. La differenza di potenziale U₂-U₁ sia tale da far circolare la corrente nel senso indicato dalla freccia. Nel caso che la f.e.m. sia nulla la legge di Ohm dà:

$\ U_{2}-U_{1}=(R+r)\ i$

Se la f.e.m. è diversa da zero ed è tale da favorire il passaggio di corrente nel senso indicato, è evidente che la U₂-U₁ necessaria a far circolare la corrente i sarà minore. Si avrà perciò:

$\ U_{2}-U_{1}=(R+r)\ i-f$

Questa relazione è conosciuta sotto il nome di legge di Ohm generalizzata.

Passiamo ora a richiamare brevemente le leggi di Kirckoff. Le leggi di Kirckoff permettono di risolvere il problema di determinare le intensità di corrente nei singoli conduttori di una rete comunque complessa comprendente resistenze e f.e.m..

Ogni rete è composta di elementi detti nodi e maglie. Un nodo è un elemento ove concorrono più conduttori. Una maglia è costituita da un insieme chiuso di conduttori (comprendenti resistenze e f.e.m.)percorsi una sola volta.

La prima legge si riferisce ai nodi e stabilisce che la somma algebrica delle correnti confluenti ad un nodo è nulla.

$\ \Sigma \ i=0$

La prima legge discende dal fatto che in corrispondenza del nodo tanta è la corrente che vi arriva quanta è quella che lo lascia, non potendosi avere ivi accumulo di cariche.

La seconda legge di Kirckoff si riferisce alle maglie e asserisce che la somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami di una maglia deve uguagliare la somma algebrica delle cadute di potenziale nelle resistenze presenti nei diversi rami:

$\ \Sigma \ f_{i}=\Sigma (R_{i}\ i)$

L'espressione precedente si ricava facilmente scrivendo per ogni ramo della maglia la legge di Ohm generalizzata e sommando le diverse equazioni.