Elettrotecnica/Grandezze alternate sinusoidali

Dobbiamo ora occuparci dello studio di circuiti elettrici sottoposti a tensioni alternative.

È necessario pertanto premettere in breve alcune semplici nozioni nei confronti delle grandezze periodiche, periodiche e alternative sinusoidali, limitandoci, per le consuete ragioni, alle sole principali definizioni.

Si definisce funzione periodica una funzione che assume lo stesso valore per valori della variabile che stanno tra loro in progressione aritmetica. Se la variabile è il tempo, ed è questo il caso che ci interessa, si indica con nome di periodo l'intervallo di tempo che intercorre tra due istanti nei quali la funzione e tutte le sue derivate assumono gli stessi valori

Il rapporto tra qualsiasi numero intero di periodi e il tempo necessario che questi periodi si verifichino o, che è lo stesso, l'inverso del periodo, prende il nome di frequenza. Essa si misura, pertanto, in periodi o cicli al secondo.

Si denomina valore efficace di una grandezza periodica la quantità:

$\ A={\sqrt {{1 \over T}\int _{0}^{T}a^{2}\ dt}}$

(1)

e valore medio la quantità:

$\ A_{med.}={1 \over T}\int _{0}^{T}a\ dt$

(2)

Alternativa è una funzione periodica il cui valore medio sia nullo.

Sinusoidale è una particolare funzione alternativa analiticamente esprimibile con una relazione del tipo

$\ a=A_{m}\ \sin[\omega \ t]$

(3)

ove con a si indica il valore istantaneo della funzione e con A_m il suo valore massimo.

Dalla periodicità delle funzioni sinusoidali deriva immediatamente:

$\ \omega \ T=2\ \pi$

(4)

e quindi

$\ \omega ={2\ \pi \over T}=2\ \pi \ f$

(5)

ω assume il nome di pulsazione. rappresenta il numero di periodi che si verificano in 2 π secondi.

La rappresentazione analitica ora data di una funzione sinusoidale presuppone che al tempo t=0 la funzione medesima abbia valore nullo. Il che non è, evidentemente, che un caso particolare e la questione assume particolare interesse quando debbono prendersi in considerazione due funzioni sinusoidali che non seguono le stesse vicissitudini in funzione della scelta arbitraria dell'istante iniziale.

Nella sua forma più generale la rappresentazione analitica di una funzione sinusoidale è, pertanto:

$\ a=A_{m}\ \sin[\omega ](t\pm \theta )=A_{m}\ \sin[\omega \ t]\pm \ \phi$

(6)

avendo posto: ω θ=φ.

φ prende il nome di fase della funzione sinusoidale e ad essa si attribuisce segno positivo o negativo a seconda che la funzione risulti in anticipo o in ritardo rispetto ad una funzione con sfasamento nullo, che inizi cioè con valore zero al tempo zero.

In una funzione sinusoidale il valore medio è, per definizione, nullo. Risultando, comunque, comodo, per alcune questioni, parlare egualmente del valore medio, lo si considera esteso al solo semiperiodo: pertanto è:

$\ A_{med}={1 \over {T \over 2}}\int _{0}^{T \over 2}a\ dt={2 \over T}\int _{0}^{T \over 2}A_{m}\sin[\omega t]dt={2A_{m} \over \pi }$

(7)

Il valore efficace di una funzione sinusoidale risulta invece:

$\ {\sqrt {{1 \over T}\int _{0}^{T}a^{2}dt}}={A_{m} \over {\sqrt {2}}}$

(8)

Vari sono i modi in cui le funzioni sinusoidali possono essere rappresentate e, conseguentemente, vari i metodi adottabili per il loro calcolo.

Ricordiamo, qui, solo che una funzione sinusoidale può sempre rappresentarsi con un vettore ruotante e che, qualora tutte le grandezze sinusoidali che interessano un medesimo problema abbiamo la medesima pulsazione, può prescindersi dal comune fattore ω t e rappresentare le varie funzioni con vettori fissi complanari le cui relazioni angolari rappresentano relazioni di fase tra le varie grandezze.

A loro volta i vettori possono rappresentarsi analiticamente, e come tali essere portati in calcolo, vuoi per il tramite delle loro proiezioni, vuoi per il tramite,nelle rappresentazioni polari, del loro modulo e del loro argomento.

Inoltre una funzione sinusoidale può essere rappresentata da un numero complesso: si pensi infatti al piano di Gauss in cui ogni punto è rappresentabile con un numero complesso; d'altronde è chiaro che ogni punto di tale piano può essere visto come estremo di un vettore avente l'origine nell'origine degli assi coordinati, vettore che, per quanto si è detto, può essere chiamato a rappresentare una grandezza sinusoidale.

Accettata la rappresentazione a mezzo di numeri complessi ne deriva la possibilità di una doppia rappresentazione analitica delle funzioni sinusoidali ai fini della esecuzione delle operazioni fondamentali: la rappresentazione trigonometrica e quella esponenziale.

Al metodo che fa uso dei numeri complessi si dà il nome di metodo simbolico ad indicare che, per tal via, ci si distacca totalmente dal significato fisico delle questioni considerate.

E' questa anzi una delle ragioni che determina, in alcuni paesi, una notevole avversione a questo metodo che pure ha il pregio di una particolare semplicità ed eleganza.

Tutti i metodi citati possono, comunque, ed anzi debbono, essere indifferentemente applicati alla risoluzione matematica di problemi riguardanti le grandezze sinusoidali, non essendo raro il caso in cui alcune parti di uno stesso problema siano di più rapida ed immediata risoluzione con uno particolare dei metodi indicati.

Vediamo ora come sia possibile realizzare fisicamente una f.e.m. ad andamento sinusoidale nel tempo.

Si abbia un campo magnetico uniforme ed in esso si disponga una spirale piana disposta come in figura

inserire figura Spirale piana in campo magnetico uniforme

Se B è la induzione magnetica nel campo, risulta:

$\ \Phi =B\ S\ \cos \alpha$

(8)

il flusso che in queste considerazioni si concatena con la spira AB che racchiude la superficie S.

Potremo scrivere anche:

$\ \Phi =\Phi _{m}\ cos\alpha$

(9)

avendo indicato con Φ_m il flusso massimo

$\ \Phi _{m}=B\ S$

(10)

Il flusso che si concatena con la spira varia quindi in funzione dell'angolo α, così che, se si imprime alla spira una rotazione intorno all'asse O con velocità angolare costante ed uguale ad ω, risulta

$\ \alpha =\omega \ t$

(11)

e quindi

$\ \Phi =\Phi _{m}\ \cos \omega t$

(12)

La variazione del flusso concatenato induce allora nella spira AB una f.e.m. data da

$\ e=-{d\Phi \over dt}=\omega \Phi _{m}\sin \omega t=E_{m}\sin \omega t$

(13)

avendo posto

$\ E_{m}=\omega \ \Phi _{m}$

(14)

che è, appunto, di tipo sinusoidale.

Accennato così, brevemente, alle definizioni caratteristiche delle f.e.m. sinusoidali, alla loro rappresentazione ed ai conseguenti metodi di calcolo, alla possibilità fisica di generare tensioni siffatte, affrontiamo, ora, lo studio del comportamento di circuiti tipici sottoposti a f.e.m. di tale tipo.