Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Composizione di moto traslazionale e rotazionale

Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Composizione di moto traslazionale e rotazionale

Posizione

$${\vec {r}}(t)=r(t){\hat {r}}$$

Significato: luogo di un punto nell'istante $t$.

Velocità

$${\begin{aligned}{\vec {v}}(t)&={\frac {d(r(t){\hat {r}})}{dt}}={\frac {dr(t)}{dt}}{\hat {r}}+r(t){\frac {d{\hat {r}}}{dt}}=\\&=v(t){\hat {r}}+r(t)({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})=v(t){\hat {r}}+{\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}r(t)\end{aligned}}$$

Caso particolare: se non c'è rotazione, quindi se il versore ${\hat {r}}$ è costante, allora:

$${\frac {d{\hat {r}}}{dt}}=0\implies {\vec {v}}(t)=v(t){\hat {r}}={\vec {v}}_{L}(t)$$

Caso particolare: se non c'è traslazione, quindi se il raggio di rotazione $r$ è costante, allora:

$${\frac {dr(t)}{dt}}=0\implies {\vec {v}}(t)={\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}r(t)={\vec {v}}_{R}(t)$$

In particolare $v_{R}$ rappresenta la velocità rotazionale del punto (che è tangenziale alla traiettoria). Significato: dall'analisi dei casi particolari si deduce che il termine $v_{L}$ è dovuto al moto traslazionale del punto, mentre il termine $v_{T}$ dipende dal moto rotatorio del punto. La velocità tangenziale $v_{R}$ è legata alla velocità angolare $\omega$ dalla relazione: $v_{R}=\omega \times {\hat {r}}r$.

Accelerazione

$${\begin{aligned}{\vec {a}}(t)&={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}(v(t){\hat {r}}+{\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}r(t))=\\&={\frac {dv(t)}{dt}}{\hat {r}}+v(t){\frac {d{\hat {r}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}(t)}{dt}}\times {\hat {r}}r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times {\frac {d{\hat {r}}}{dt}}r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}{\frac {dr(t)}{dt}}=\\&=a(t){\hat {r}}+v(t)({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})+{\vec {\alpha }}(t)\times {\hat {r}}r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}v(t)=\\&=a(t){\hat {r}}+2{\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}}v(t)+{\vec {\alpha }}(t)\times {\hat {r}}r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})r(t)\end{aligned}}$$

Caso particolare: se non c'è rotazione, quindi se il versore ${\hat {r}}$ è costante, allora:

$${\frac {d{\hat {r}}}{dt}}=0\implies {\vec {a}}(t)=a(t){\hat {r}}={\vec {a}}_{L}(t)$$

Caso particolare: se non c'è traslazione, quindi se il raggio di rotazione $r$ è costante, allora:

$${\frac {dr(t)}{dt}}=0\implies {\vec {a}}(t)={\vec {\alpha }}(t)\times {\hat {r}}r(t)+{\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})r(t)={\vec {a}}_{R}(t)$$

In particolare: ${\vec {\alpha }}(t)\times {\hat {r}}r(t)={\vec {a}}_{T}(t)$ è una componente tangenziale alla traiettoria; mentre ${\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})r(t)={\vec {a}}_{C}(t)$ è una componente diretta verso il centro della traiettoria.

Caso particolare: se l'accelerazione angolare $\alpha$ è costante, allora l'accelerazione rotazionale e la velocità angolare sono nella relazione: ${\vec {a}}(t)={\vec {\omega }}(t)\times ({\vec {\omega }}(t)\times {\hat {r}})r(t)$.

Significato: dall'analisi dei casi particolari si deduce che il termine $a_{L}$ è dovuto al moto traslazionale del punto, mentre il termine $a_{R}$ dipende dal moto rotatorio del punto.