Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-lato-lato

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Geometria per scuola elementare
Perché le costruzioni non sono corrette? Il teorema di congruenza lato-lato-lato Copiare un triangolo


Introduzione[modifica]

In questo capitolo, inizieremo a parare di congruenza e di teoremi di congruenza.

Diciamo che due triangoli sono congruenti se hanno forma uguale. I triangoli e sono congruenti se e solo se sussistono tutte le seguenti condizioni:

  1. Il lato è uguale a .
  2. Il lato è uguale a .
  3. il lato è uguale a .
  4. L'angolo è uguale a .
  5. L'angolo è uguale a .
  6. L'angolo è uguale a .

Notare che l'ordine dei vertici è importante. Può anche succedere che e non siano congruenti anche se si tratta dello stesso triangolo.

I criteri di congruenza servono a fornire un insieme di condizioni più ridotto, ma ugualmente sufficiente a poter dire che due triangoli sono congruenti.

Il primo criterio di congruenza di cui parleremo è il teorema lato-lato-lato.

Il criterio di congruenza lato-lato-lato[modifica]

Dati due triangoli e con i lati uguali, in modo che:

  1. Il lato sia uguale a .
  2. Il lato sia uguale a .
  3. Il lato sia uguale a .

Allora i triangoli sono congruenti e i loro angoli sono anch'essi uguali.

Metodo dimostrativo[modifica]

Per provarlo abbiamo bisogno di un nuovo postulato. Questo nuovo postulato ci dice che possiamo spostare, girare o capovolgere una figura geometrica senza cambiarla. In particolare, ci permette di spostare un triangolo senza modificarne i lati e gli angoli.

Bisogna fare attenzione al fatto che questo postulato è vero nella geometria piana ma non lo è in generale. Se si considera la geometria su una superficie curva, il postulato non è più vero.

Una volta che abbiamo a disposizione il postulato, mostreremo come possiamo muovere un triangolo su un altro fino a farli coincidere. Grazie a questo i due triangoli sono uguali.

La costruzione[modifica]

  1. Copia il lato sul punto D.
  2. Disegna il cerchio .
  3. Il cerchio e il segmento si intersecano nel punto E: così abbiamo una copia di che coincide con .
  4. Costruisci un triangolo con come base, , come lati e con il vertice dalla stessa parte del vertice F. Chiamiamo questo triangolo

Affermazione[modifica]

I triangoli e sono congruenti.

Dimostrazione[modifica]

  1. I punti A e D coincidono.
  2. I punti B e E coincidono.
  3. Il vertice F è un punto di intersezione di and .
  4. Il vertice G è un punto di intersezione di e .
  5. Sappiamo in partenza che è uguale a
  6. e anche è uguale a .
  7. Quindi, è uguale a e è uguale a .
  8. Tuttavia, due cerchi con centri diversi hanno al massimo un punto di intersezione da un lato del segmento che unisce i loro centri.
  9. Quindi, i punti G e F coincidono.
  10. Per due punti passa una sola linea retta, quindi coincide con e coincide con .
  11. Perciò, il triangolo coincide con e i due sono congruenti.
  12. Grazie al postulato e sono uguali e quindi congruenti.
  13. Quindi, e sono congruenti.
  14. Da cui, è uguale a , è uguale a e è uguale a .

Nota[modifica]

Il teorema di congruenza lato-lato-lato compare negli Elementi come proposizione 8 del I Libro . La dimostrazione che ne abbiamo data è svolta nello stesso spirito di quella originale. Nell'originale Euclide afferma che i vertici F e G devono coincidere senza però spiegarne il perché.

Noi abbiamo usato la proprietà secondo cui:

Cerchi con centri diversi hanno al massimo un punto di intersezione da un lato del segmento che unisce i loro centri.

L'assunzione è valida nella geometria piana ma può essere ricavata dai postulati originali di Euclide. Siccome Euclide stesso ne ha dovuto far uso abbiamo preferito dare una dimostrazione più dettagliata, nonostante l'assunzione di questa proprietà extra.