Onde meccaniche elastiche/Energia e intensità d'onda

In questo modulo ci soffermeremo più attentamente sulle questioni energetiche legate alla propagazione di un'onda; in particolare, cercheremo di calcolare in maniera esplicita il valore dell'intensità dell'onda.

Quando un'onda si propaga in un mezzo, le particelle oscillano acquistando energia cinetica e potenziale. Ogni elemento del mezzo può essere ipotizzato come un oscillatore armonico forzato a oscillare attorno a una posizione fissa; ogni elemento si muove quindi seguendo la legge:

$\alpha (x,\,t)=A\sin(kx-\omega t)$

Abbiamo già trattato l'energia di un oscillatore armonico; essa è data da:

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Sapendo che $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$, possiamo esplicitare $k=\omega ^{2}m$:

$E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}$

Prendiamo, allora, per esempio una sbarra di materiale elastico molto lunga. Sollecitata una perturbazione, questa si propaga lungo il mezzo, di cui ogni parte acquista energia, che viene fornita dalla sorgente fino ad arrivare al fronte del treno d'onda. Si definisce intensità dell'onda l'energia che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie unitaria perpendicolare alla propagazione dell'onda, ovvero:

$I={\frac {dE}{dSdt}}$

L'unità di misura nel SI è il $W/m^{2}$ (watt al metro quadro).

Sappiamo che l'onda possiede una velocità $v$; $dE$ può essere anche espressa come l'energia contenuta in un volumetto di base $S$ e altezza $vdt$ quando questo viene investito dall'onda, quindi definita $w$ l'energia contenuta nel volumetto, avremo:

$dE=wdSvdt$

Sostituiamo nella formula dell'intensità, ottenendo:

$I={\frac {dE}{dSdt}}={\frac {wdSvdt}{dSdt}}=w\,v$

Riprendiamo adesso la formula dell'energia di un oscillatore armonico; dividendola per il volume otterremo l'espressione di $w$ in funzione della densità del mezzo e dei parametri dell'onda; la sostituiamo infine nella formula dell'intensità per ricavarne l'espressione finale.

${\begin{aligned}&dE={\frac {1}{2}}dm\omega ^{2}A^{2}\\&{\frac {dE}{dV}}=w={\frac {1}{2}}{\frac {dm}{dV}}\omega ^{2}A^{2}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}A^{2}\\\Rightarrow &I=v\,w={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}A^{2}v\end{aligned}}$

Questo risultato è notevole: l'intensità dell'onda è direttamente proporzionale ai quadrati dell'ampiezza e della pulsazione dell'onda. L'utilità dell'intensità è quella di poter calcolare le soglie di udibilità del suono. L'orecchio umano, infatti, riesce a percepire suoni superiori a determinate intensità; per esempio, la soglia minima è:

$I_{soglia}=3\cdot 10^{-12}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}{\text{ per }}\nu =1000{\text{ Hz}}$

(Notiamo come la soglia vari a seconda della frequenza dell'onda). Tuttavia, si è deciso di introdurre la scala in decibel: fissata un'intensità di riferimento pari a $I_{0}=10^{-12}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}$, si definisce intensità in decibel:

$I_{db}=10\cdot \log _{10}\left({\frac {I}{I_{0}}}\right)$

Quindi la soglia sopra riportata, in decibel, è pari a $I=4.77db$

Facciamo un'ultima considerazione sull'intensità di un'onda. Soffermiamoci sul caso di una sorgente puntiforme $S$ che abbia potenza $W$ costante; prendiamo due sfere concentriche $C_{1}$ e $C_{2}$ centrate in $S$, di raggio $r_{1}$ e $r_{2}$, le quali vengono attraversate da una certa quantità di $W$, che può essere definita come il prodotto tra le intensità dell'onda ai due raggi di distanza e le due superfici incontrate, ovvero:

$W=4\pi r_{1}^{2}I_{1}=4\pi r_{2}^{2}I_{2}$

Da questa espressione ricaviamo che $I_{1}={\frac {W}{4\pi r_{1}^{2}}}$ e $I_{2}={\frac {W}{4\pi r_{2}^{2}}}$; questo risultato ci dice che l'intensità diminuisce in maniera inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente. Però noi sappiamo anche che l'intensità è direttamente proporzionale all'ampiezza al quadrato. Possiamo infine affermare che, in un'onda elastica, si ha:

$A\propto {\frac {1}{r}}$