Onde meccaniche elastiche/Onde meccaniche

Quando applichiamo una perturbazione, ovvero una variazione, a una qualsiasi grandezza fisica di un determinato mezzo, si verifica una propagazione ondosa, ovvero la perturbazione si propaga attraverso il mezzo che riempie lo spazio.

Un esempio classico di un fenomeno d'onda è il lancio di un sasso in uno stagno d'acqua: successivamente all'impatto del sasso con la superficie d'acqua, si possono vedere delle circonferenze d'acqua che si allontanano progressivamente dal punto d'impatto. Quelle circonferenze possono essere considerate un esempio materiale di onda.

Un'osservazione diretta dall'esperienza empirica del lancio del sasso è che, a propagarsi, non è materia, bensì il moto della materia: le particelle d'acqua cambiano sia la loro velocità che la loro quota, dando origine così a un propagarsi di energia cinetica e energia potenziale. Gli anelli d'acqua che si formano possono essere considerati come luoghi geometrici dei punti che, in un determinato istante, subiscono la perturbazione; questi luoghi geometrici vengono chiamati comunemente fronti d'onda. Quando si ha una propagazione nello spazio si è soliti parlare di onde sferiche ma, come nel caso dell'acqua, si può considerarle anche onde piane.

La propagazione di un'onda dipende fortemente dalle caratteristiche fisiche del mezzo; nell'acqua è presente una forza di richiamo tra le particelle, che possiamo schematizzare come una forza elastica. In questi casi, allora, parleremo di onde elastiche in mezzi elastici. La forza elastica, tuttavia, ha degli effetti dissipativi che tendono a smorzare la perturbazione; nella nostra analisi trascureremo questi effetti. Qualora, però, essi risultano impossibili da trascurare, perché troppo forti, parliamo di onde smorzate. Un esempio è il lancio di un sasso, invece che in uno stagno d'acqua, in una pozzanghera di fango: in quel mezzo la forza di richiamo ha un effetto dissipativo molto forte, e il risultato è che non possono essere apprezzati fronti d'onda evidenti, quindi la perturbazione viene stroncata quasi sul nascere.

Le onde elastiche descrivono efficacemente molti fenomeni naturali, tra i quali la propagazione del suono nell'aria. Nei mezzi elastici possono crearsi due tipi di onde: le onde longitudinali, che si hanno quando le particelle si propagano nella stessa direzione in cui si propaga l'onda, per esempio, quando si comprime una piccola parte di una molla molto lunga e possiamo vedere come, seguendo la direzione della molla, le parti successive adiacenti siano interessate dalla perturbazione contraendosi a loro volta; le onde trasversali, invece, si hanno quando le particelle si propagano in direzione ortogonale a quella di propagazione dell'onda, per esempio quando si fa oscillare una corda di chitarra. In questo corso tratteremo approfonditamente entrambi questi fenomeni.

Parliamo adesso in termini matematici. Le onde, oltre che a parole, possono essere descritte da funzioni matematiche. Una funzione d'onda descrive come la perturbazione si propaga nello spazio, ovvero come, all'istante $t$, si muovono le particelle interessate del mezzo. Avremo quindi che la funzione d'onda può essere scritta:

$\alpha (x,\,t)$

Questo tipo di funzione rappresenta, al variare del tempo, come varia la posizione della particella. Le onde possono considerarsi progressive o regressive: a cambiare non è altro che la direzione di propagazione. Scelto un verso positivo, si hanno onde progressive quando l'onda si propaga verso il semiasse positivo; al contrario, si hanno onde regressive quando la direzione di propagazione segue il semiasse negativo. In generale, un'onda che si propaga con una determinata velocità $v$, la funzione può essere scritta anche come:

$\alpha (x,\,t)=f(x-vt)$

nel caso di onde progressive. Se l'onda fosse stata regressiva, avremmo avuto $f(x+vt)$. Per descrivere la velocità possiamo considerare la funzione a due istanti diversi $t_{1}$ e $t_{2}$; se, in questi due istanti, avremo le posizioni delle particelle ${\bar {x}}_{1}$ e ${\bar {x}}_{2}$, allora la velocità dell'onda può essere scritta come:

${\frac {{\bar {x}}_{2}-{\bar {x}}_{1}}{t_{2}-t_{1}}}=v$

Matematicamente parlando, una funzione d'onda soddisfa la seguente equazione differenziale alle derivate parziali; diamo per buono questo dato, tenendo conto che, nel corso, per valutare se si ha o meno una funzione d'onda, effettueremo questo test. L'equazione che descrive le funzioni d'onda è:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}$