Onde meccaniche elastiche/Onde sinusoidali

Un caso interessante da studiare sono quei tipi di onde descritte da una funzione sinusoidale:

$\alpha (x,\,t)=A\,\sin \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}\left(x\mp vt\right)\right]$

In questa funzione $A$ indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da $x$ che da $t$, e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro $\lambda$ si chiama lunghezza d'onda e determina il periodo spaziale dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da $T={\frac {\lambda }{v}}$; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:

${\frac {2\pi }{\lambda }}\left[x\mp v(t+nT)\right]={\frac {2\pi }{\lambda }}\left[x\mp v(t+n{\frac {\lambda }{v}})\right]={\frac {2\pi }{\lambda }}\left[x\mp vt+n\lambda \right]={\frac {2\pi }{\lambda }}(x\mp vt)+2\pi n$

Vale quindi la relazione $\lambda =v\,T$. Un altro modo di scrivere la funzione di un'onda sinusoidale è:

$\alpha (x,\,t)=A\sin(\omega t+\varphi )$

In cui $\omega$ è detta pulsazione e vale:

$\omega ={\frac {2\pi v}{\lambda }}={\frac {2\pi }{T}}$

Mentre $\varphi$ vale $\varphi ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\bar {x}}+j\pi$, nei casi:

${\begin{aligned}&j=0\quad {\mbox{se }}(x-vt)\\&j=1\quad {\mbox{se }}(x+vt)\end{aligned}}$

A volte, però, risulta più comodo scrivere la funzione nel seguente modo:

$\alpha (x,\,t)=A\sin(kx\mp \omega t+\varphi )$

In questa espresso, $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ viene chiamato numero d'onda, mentre la pulsazione $\omega ={\frac {2\pi v}{\lambda }}={\frac {2\pi }{T}}$. Il fattore $\varphi$ viene chiamato fase e dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali del problema.

Un'onda del tipo $\alpha (x,\,t)={\frac {2\pi }{\lambda }}(x\mp vt)$ è detta armonica. Questa, in teoria, dovrebbe continuare in un grafico all'infinito sia per il tempo che per lo spazio, ovvero $\infty \leq t\leq +\infty$ e $\infty \leq x\leq +\infty$; questo caso è quanto mai improbabile, e quindi si studia una porzione d'onda limitata, che viene chiamata treno d'onda sinusoidale. Una caratteristica delle onde armoniche è che questa seguono il principio di sovrapposizione e il teorema di Fourier.

Principio di sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione afferma che se, in un mezzo elastico, si propagano più onde di funzione $\alpha _{1},\,\alpha _{2}\,...$ l'onda risultante è descritta da:

$\alpha (x,\,t)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots$

Ovvero le singole componenti si sommano solo se la perturbazione risultante non porta il mezzo a lavorare oltre il limite di elasticità. Possiamo dimostrare come la risultante soddisfi l'equazione differenziale delle onde; facciamo il caso di due contributi, valido come esempio generale:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial t^{2}}}\quad {\frac {\partial ^{2}\alpha _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\alpha _{2}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha _{2}}{\partial t^{2}}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2})}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2})}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

Nel secondo passaggio abbiamo sommato membro a membro. Così come la somma di due contributi è una funzione d'onda, lo stesso vale quando i contributi sono in numero maggiore, sempre rispettando il limite di elasticità del mezzo.

Teorema di Fourier

Un'onda periodica di periodo $T$ e lunghezza d'onda $\lambda$, quindi avente $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ e $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, che sia di forma qualunque, e sia $\alpha (kx\mp \omega t)$ la sua funzione, sotto opportune ipotesi può essere scritta come:

${\begin{aligned}\alpha (kx\mp \omega t)=A_{0}+&A_{1}\cos(kx\mp \omega t)+B_{1}\sin(kx\mp \omega t)+\\+&A_{2}\cos(2(kx\mp \omega t))+B_{2}\sin(2(kx\mp \omega t))+\cdots \end{aligned}}$

I coefficienti $A_{0},\,A_{1},\,A_{2}\,...\,B_{1},\,B_{2}\,...$ decrescono col crescere del numero d'onda $k$. La scrittura fornita dal teorema è anche chiamata serie di Fourier e lo studio di un'onda attraverso lo sviluppo di Fourier è detto analisi armonica. Non forniremo qui la dimostrazione del teorema.