Un caso interessante da studiare sono quei tipi di onde descritte da una funzione sinusoidale:
In questa funzione
indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da
che da
, e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro
si chiama lunghezza d'onda e determina il periodo spaziale dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da
; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:
Vale quindi la relazione
. Un altro modo di scrivere la funzione di un'onda sinusoidale è:
In cui
è detta pulsazione e vale:
Mentre
vale
, nei casi:
A volte, però, risulta più comodo scrivere la funzione nel seguente modo:
In questa espresso,
viene chiamato numero d'onda, mentre la pulsazione
. Il fattore
viene chiamato fase e dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali del problema.
Un'onda del tipo
è detta armonica. Questa, in teoria, dovrebbe continuare in un grafico all'infinito sia per il tempo che per lo spazio, ovvero
e
; questo caso è quanto mai improbabile, e quindi si studia una porzione d'onda limitata, che viene chiamata treno d'onda sinusoidale. Una caratteristica delle onde armoniche è che questa seguono il principio di sovrapposizione e il teorema di Fourier.
Il principio di sovrapposizione afferma che se, in un mezzo elastico, si propagano più onde di funzione
l'onda risultante è descritta da:
Ovvero le singole componenti si sommano solo se la perturbazione risultante non porta il mezzo a lavorare oltre il limite di elasticità. Possiamo dimostrare come la risultante soddisfi l'equazione differenziale delle onde; facciamo il caso di due contributi, valido come esempio generale:
Nel secondo passaggio abbiamo sommato membro a membro. Così come la somma di due contributi è una funzione d'onda, lo stesso vale quando i contributi sono in numero maggiore, sempre rispettando il limite di elasticità del mezzo.
Un'onda periodica di periodo
e lunghezza d'onda
, quindi avente
e
, che sia di forma qualunque, e sia
la sua funzione, sotto opportune ipotesi può essere scritta come:
I coefficienti
decrescono col crescere del numero d'onda
. La scrittura fornita dal teorema è anche chiamata serie di Fourier e lo studio di un'onda attraverso lo sviluppo di Fourier è detto analisi armonica. Non forniremo qui la dimostrazione del teorema.