Sistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori: comportamento in frequenza
Uno stadio amplificatore deve avere una certa risposta in frequenza in base alla frequenza (= rapidità di variazione) del segnale in ingresso.
Se vi sono elementi dinamici (induttori, condensatori), l'amplificazione non è più una costante ma dipende dalla frequenza: .
Celle del I ordine
[modifica | modifica sorgente]Analisi della risposta al gradino nel dominio del tempo[1]
[modifica | modifica sorgente]Nel dominio del tempo, si studia il comportamento asintotico durante una risposta al gradino .
Gli elementi dinamici introducono un ritardo nella risposta del circuito: per esempio, durante la risposta al gradino di un circuito RC la tensione ai capi del condensatore non assume istantaneamente il valore del gradino (amplificato nel caso degli amplificatori), ma è caratterizzato da un transitorio che tende asintoticamente a tale valore → lo studio di frequenze elevate richiede rapidi transitori.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/RC_cell_step_response.png/220px-RC_cell_step_response.png)
La risposta al gradino di un circuito dinamico del I ordine è definita univocamente dai comportamenti asintotici a e a e dalla costante di tempo :
I circuiti del II ordine hanno invece una risposta al gradino più complessa.
Si dimostra che → graficamente la funzione assume in un valore che è aumentato/diminuito, a partire da , del 63% rispetto all'intervallo tra e .
Inoltre, la tangente al grafico in interseca l'asintoto per in :
Analisi del comportamento dinamico nel dominio della frequenza[2]
[modifica | modifica sorgente]Nel dominio della frequenza, si rappresenta tramite il diagramma di Bode il comportamento dinamico del circuito.
La funzione di rete è un rapporto di funzioni polinomiali che sono le espressioni di due segnali sinusoidali:
Gli zeri sono le radici del numeratore (di cui nulle), i poli sono le radici del denominatore (di cui nulle). I poli sono una caratterizzazione univoca del comportamento del circuito, indipendentemente dalla funzione di rete. Il diagramma di Bode è la rappresentazione grafica della funzione di rete nella sua restrizione ai numeri complessi (cioè l'amplificazione di tensione nel caso particolare degli amplificatori), in funzione della frequenza angolare (u.m. rad/s) espressa in scala logaritmica.[3]
L'espressione in decibel (dB) del modulo della funzione di rete (cioè il guadagno di potenza nel caso particolare degli amplificatori) è, sostituendo con e applicando le proprietà dei logaritmi e dei numeri complessi:
Il diagramma di Bode è dato dalla somma dei contributi dei singoli termini:
- la costante contribuisce con una retta orizzontale;
- ogni zero nullo contribuisce con una retta di pendenza 20 dB/dec passante per ;
- ogni zero non nullo contribuisce con una spezzata composta da:
- a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:
- in corrispondenza dello zero, uno scostamento verticale di entità trascurabile:
- a destra dello zero, una retta di pendenza 20 dB/dec intersecante l'asse orizzontale nello zero:
- a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:
- ogni polo contribuisce con una spezzata analoga a quella degli zeri, ma con pendenza negativa.
Per i tratti a pendenza 20 dB/dec, i rapporti tra frequenze e i rapporti tra ampiezze sono uguali.
Filtri passa-alto
[modifica | modifica sorgente]Se si pone un condensatore in serie al flusso di segnale si ottiene un filtro passa-alto.
Cella RC passa-alto
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/High-pass_RC_cell.png/100px-High-pass_RC_cell.png)
Analisi nel tempo
[modifica | modifica sorgente]Applicando un segnale a gradino a una cella RC passa-alto, la tensione di uscita :
presenta una risposta transitoria che ha nel tempo un andamento esponenziale decrescente.
Il grafico di è toccato in dalla retta tangente:
di coefficiente angolare :
che interseca l'asse delle ascisse nel punto :
Per questo motivo, la costante di tempo è detta costante di decadimento.
Analisi in frequenza
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/High-pass_RC_cell_frequency_analysis.png/150px-High-pass_RC_cell_frequency_analysis.png)
Il condensatore posto in serie al flusso di segnale si comporta come un filtro passa-alto, cioè attenua in dB[4] a basse frequenze:
- i segnali a bassa frequenza () non passano: il condensatore si comporta come un circuito aperto → ;
- i segnali ad alta frequenza () passano: il condensatore si comporta come un cortocircuito → .
Applicando il partitore di tensione sulla resistenza, si trova la seguente funzione di rete:
avente uno zero nell'origine () e un polo in , con .
I segnali ad alta frequenza in realtà vengono epurati della loro componente continua (DC), cioè viene mantenuta solamente la sinusoide azzerando il valor medio attorno a cui essa oscilla.
Amplificatore con cella RC passa-alto
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Amplifier_with_high-pass_RC_cell.png/220px-Amplifier_with_high-pass_RC_cell.png)
Introducendo, come impedenza del generatore reale, un condensatore in serie nella linea di ingresso di un amplificatore, esso si comporta come un filtro passa-alto, filtrando le componenti continue dei segnali sinusoidali in ingresso e rispondendo con un transitorio agli ingressi a gradino.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Amplifier_with_high-pass_RC_cell_frequency_analysis.png/220px-Amplifier_with_high-pass_RC_cell_frequency_analysis.png)
Posto costante, la tensione filtrata dalla cella RC viene poi amplificata nella tensione di uscita dell'amplificatore. La funzione di rete complessiva:
presenta un diagramma di Bode analogo a quello della funzione di rete della singola cella RC, ma per le proprietà dei logaritmi con sfalsamento costante pari a :
Condensatori di disaccoppiamento tra stadi amplificatore in cascata
[modifica | modifica sorgente]Se due stadi amplificatore sono posti in cascata separati da un condensatore di disaccoppiamento, il condensatore si comporta come un filtro passa-alto. La costante di tempo τ è uguale al prodotto tra la capacità e la resistenza equivalente vista ai capi del condensatore allo spegnimento di tutti i generatori indipendenti.
Filtri passa-basso
[modifica | modifica sorgente]A differenza di quello passa-alto, in un filtro passa-basso l'uscita viene presa ai capi del condensatore.
Cella RC passa-basso
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Low-pass_RC_cell.png/100px-Low-pass_RC_cell.png)
Analisi nel tempo
[modifica | modifica sorgente]Nella risposta al gradino, la tensione di uscita ha un andamento esponenziale crescente:
Analisi in frequenza
[modifica | modifica sorgente]Un filtro passa-basso consente il passaggio di segnali solo al di sotto di una certa frequenza. La funzione di rete ha un polo a frequenza :
Il diagramma di Bode presenta un'attenuazione in dB dei segnali ad alta frequenza ().
Amplificatore con cella RC passa-basso
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Amplifier_with_low-pass_RC_cell.png/220px-Amplifier_with_low-pass_RC_cell.png)
La funzione di rete complessiva di un amplificatore passa-basso è:
con .
A nel dominio del tempo e per nel dominio della frequenza il condensatore si comporta come un circuito aperto, e il circuito diventa un normale stadio amplificatore con un generatore reale in ingresso e una resistenza di carico in uscita:
Pertanto la funzione di rete complessiva si può scrivere come il prodotto tra il valore in banda passante dell'amplificazione () e un termine legato al comportamento passa-basso:
dove vale ancora: .
Filtri passa-banda
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Band-pass_amplifier_with_RC_cells.png/220px-Band-pass_amplifier_with_RC_cells.png)
Il circuito in figura presenta un condensatore di disaccoppiamento all'ingresso (cella passa-alto) e un carico reattivo all'uscita (cella passa-basso). I due condensatori si dicono disaccoppiati dal generatore di tensione interno all'amplificatore.
Analisi in frequenza
[modifica | modifica sorgente]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Pass-band_amplifier_with_RC_cells_frequency_analysis.png/220px-Pass-band_amplifier_with_RC_cells_frequency_analysis.png)
Il diagramma di Bode risulta dalla composizione dei due filtri passa-alto e passa-basso, aventi rispettivamente costanti di tempo e e poli e , posti in cascata al flusso di segnale:
Si definisce banda passante lo spettro di frequenza compreso tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore :
- la frequenza di taglio inferiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-alto;
- la frequenza di taglio superiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-basso.
Mentre per annullare l'effetto passa-alto basta rimuovere il condensatore in ingresso, l'effetto passa-basso non si può eliminare a causa degli effetti di tipo capacitivo propri dei transistori, che sono dei dispositivi a semi-conduttore, di cui è composto l'amplificatore stesso.
Analisi nel tempo
[modifica | modifica sorgente]La risposta nel tempo all'onda quadra (= successione di gradini alternati con periodo ) è una sovrapposizione dei transitori passa-alto e passa-basso. I ritardi e le rapidità con cui si manifestano i comportamenti passa-alto e passa-basso dipendono dall'ordine di grandezza del periodo dell'onda quadra rispetto agli ordini di grandezza delle costanti di tempo e associate rispettivamente ai comportamenti passa-alto e passa-basso:[5]
- se : il comportamento passa-alto è trascurabile perché il suo transitorio si manifesta con troppo ritardo → prevale il comportamento passa-basso: allo sbalzo di tensione il segnale è totalmente attenuato, ma questa attenuazione si riduce durante il tratto costante;
- se : il comportamento passa-basso è trascurabile perché il suo transitorio si esaurisce subito → prevale il comportamento passa-alto: al termine del breve transitorio passa-basso il segnale è totalmente amplificato, ma questa amplificazione si riduce durante il tratto costante.
Amplificatore in continua
[modifica | modifica sorgente]Gli amplificatori in continua (es. alimentatori) forniscono segnali DC a tensione costante (→ ) indipendentemente dal carico, perché hanno una frequenza di taglio inferiore .
Celle del II ordine
[modifica | modifica sorgente]A seconda del tipo di segnale su cui deve operare, un amplificatore deve garantire una banda passante entro la quale rientrino tutte le possibili frequenze del tipo di segnale:
- amplificatori a larga banda (audio): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno a basse frequenze ~Mhz (es. altoparlante);
- amplificatori accordati (di potenza RF): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno ad alte frequenze ~Ghz (es. microfono).
Amplificatori accordati
[modifica | modifica sorgente]Gli amplificatori accordati sono di solito realizzati con celle reattive del II ordine, cioè circuiti risonatori aventi un induttore e un condensatore nella stessa maglia. Un circuito risonatore è caratterizzato da una funzione di trasferimento a poli complessi coniugati del tipo:
dove:
- è la frequenza di risonanza;
- ("xi") è lo smorzamento.
Amplicatore accordato con cella RC
[modifica | modifica sorgente]L'amplificatore con cella LC è un amplificatore accordato con impedenza di carico costituita dal parallelo di un induttore , un condensatore e un resistore .
Analisi in frequenza
[modifica | modifica sorgente]Tramutando internamente all'amplificatore la serie generatore di tensione-resistore nel parallelo generatore di corrente-resistore, si trova la seguente funzione di rete :
dove:
il cui modulo ha un andamento in frequenza "a campana" di ampiezza ∼ centrata attorno a .
Analisi nel tempo
[modifica | modifica sorgente]Se la resistenza di perdita è sufficientemente piccola → non è troppo elevato, le risposte al gradino e all'impulso presentano un andamento oscillante di periodo con uno smorzamento proporzionale a .
Da rete a doppio bipolo
[modifica | modifica sorgente]Si opera in maniera analoga agli amplificatori resistivi in continua, tenendo conto che i 3 parametri , e possono essere complessi.
Linearità e non linearità
[modifica | modifica sorgente]Rappresentazione della relazione tra ingresso e uscita
[modifica | modifica sorgente]La relazione tra tensione di ingresso e tensione di uscita di un dispositivo si può rappresentare attraverso:
- due grafici separati di e ;
- il grafico della funzione di trasferimento ;
- il grafico della transcaratteristica : è variabile a seconda di → è difficile rappresentare comportamenti dovuti a bipoli dinamici.
Moduli lineari
[modifica | modifica sorgente]Il grafico della transcaratteristica ideale è una retta passante per l'origine.
Il grafico della transcaratteristica di un modulo lineare[6] è una retta che si discosta dall'idealità in base a 3 parametri, a 2 a 2 indipendenti:
- guadagno : differenza di pendenza tra i due andamenti rettilinei;
- offset (verticale): valore di uscita a ingresso nullo;
- offset (orizzontale): valore d'ingresso che annulla l'uscita.
Moduli non lineari
[modifica | modifica sorgente]Il grafico della transcaratteristica di un modulo non lineare non ha andamento rettilineo, e non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti.
Il circuito raddrizzatore è un modulo non lineare, ma lineare a tratti, che restituisce in uscita solo le tensioni d'ingresso positive:
Altri moduli permettono di saturare un ingresso di tipo sinusoidale entro un certo intervallo di valori.
Moduli reali
[modifica | modifica sorgente]- limiti di dinamica: tutti i moduli reali non sono lineari, ma alcuni sono approssimabili linearmente, cioè la transcaratteristica è approssimabile a una retta (per esempio la tangente) entro una restrizione di valori in ingresso, cioè limitando le dinamiche[7] d'ingresso e uscita, che sono strettamente correlate tra loro attraverso la pendenza della retta; in uno stadio amplificatore, la dinamica di uscita è limitata dalla dinamica delle tensioni di alimentazione, in particolare superiormente a e inferiormente a ;
- limiti fisici: se la tensione in ingresso è troppo elevata può danneggiare il modulo, soprattutto se la tensione di alimentazione è bassa;
- limiti di banda: mentre la frequenza massima non può superare i limiti fisici del modulo, la frequenza minima può anche essere scelta nulla, ma è consigliabile limitare anche la frequenza minima per escludere le frequenze basse di rumore.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Non-linear_amplifier_signal_harmonic_distortion.png/220px-Non-linear_amplifier_signal_harmonic_distortion.png)
Un amplificatore non lineare introduce una distorsione nel segnale: se per esempio viene fornito in ingresso un segnale con una singola frequenza fondamentale , il segnale amplificato sarà caratterizzato anche dalle sue frequenze multiple , , ecc. dette armoniche. La distorsione armonica totale misura il livello di distorsione del segnale amplificato in uscita rispetto alla fondamentale:
Note
[modifica | modifica sorgente]- ↑ Nel dominio del tempo, il condensatore si comporta come un cortocircuito all'inizio del transitorio () e come un circuito aperto al termine del transitorio, e viceversa per l'induttore.
- ↑ Nel dominio della frequenza, il condensatore si comporta come un circuito aperto a bassa frequenza (in continua) e come un cortocircuito ad alta frequenza, e viceversa per l'induttore.
- ↑ Nella scala logaritmica, si dice decade l'intervallo tra due potenze del 10.
- ↑ Un'attenuazione del segnale nel diagramma di Bode significa che il logaritmo è negativo → il suo argomento è compreso tra 0 e 1 → la tensione di uscita è minore di quella in ingresso.
- ↑ Anche se l'onda quadra non è propriamente un segnale sinusoidale, i segnali a gradino e a onda quadra si possono in realtà immaginare come segnali a frequenza variabile che è infinita in corrispondenza degli sbalzi di tensione, e si riduce progressivamente fino ad annullarsi nei tratti di tensione costante. Questa interpretazione spiega intuitivamente i grafici delle risposte al gradino delle celle RC.
- ↑ Per un modulo lineare vale la sovrapposizione degli effetti: l'uscita si può esprimere come la somma delle risposte parziali agli ingressi.
- ↑ In questo caso, la dinamica è l'intervallo di valori che il segnale di ingresso/uscita può assumere garantendo la linearità della curva generata.