Sistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori: comportamento in frequenza

Uno stadio amplificatore deve avere una certa risposta in frequenza in base alla frequenza (= rapidità di variazione) del segnale in ingresso.

Se vi sono elementi dinamici (induttori, condensatori), l'amplificazione non è più una costante ma dipende dalla frequenza: $A_{V}\left(s\right)$.

Celle del I ordine

Analisi della risposta al gradino nel dominio del tempo

Nel dominio del tempo, si studia il comportamento asintotico durante una risposta al gradino $u\left(t\right)$.

Gli elementi dinamici introducono un ritardo nella risposta del circuito: per esempio, durante la risposta al gradino di un circuito RC la tensione ai capi del condensatore non assume istantaneamente il valore del gradino (amplificato nel caso degli amplificatori), ma è caratterizzato da un transitorio che tende asintoticamente a tale valore → lo studio di frequenze elevate richiede rapidi transitori.

La risposta al gradino di un circuito dinamico del I ordine è definita univocamente dai comportamenti asintotici a $t=0^{+}$ e a $t\rightarrow +\infty$ e dalla costante di tempo $\tau$:

$x\left(t\right)=\left[x\left(0^{+}\right)-x\left(+\infty \right)\right]e^{-{t \over \tau }}+x\left(+\infty \right)=x_{B}e^{-{t \over \tau }}+x_{A}$

I circuiti del II ordine hanno invece una risposta al gradino più complessa.

Si dimostra che $\Delta x\left(\tau \right)=\left|x\left(0^{+}\right)-x\left(\tau \right)\right|=0,63\cdot \Delta x=0,63\cdot \left|x\left(0^{+}\right)-x\left(+\infty \right)\right|$ → graficamente la funzione $x\left(t\right)$ assume in $t=\tau$ un valore che è aumentato/diminuito, a partire da $x\left(0^{+}\right)$, del 63% rispetto all'intervallo $\Delta x$ tra $x\left(0^{+}\right)$ e $x\left(+\infty \right)$.

Inoltre, la tangente al grafico in $t=0^{+}$ interseca l'asintoto per $x\left(+\infty \right)$ in $t=\tau$:

$\left.{dx \over dt}\right\vert _{t=0}=-{x_{B} \over \tau }\Rightarrow {\begin{cases}x\left(t\right)=-{x_{B} \over \tau }t+x\left(0^{+}\right)\\x\left(t\right)=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}t=x\left(0^{+}\right)\cdot {\tau \over x_{B}}\\x\left(+\infty \right)=0\end{cases}}\Rightarrow t=\tau$

Analisi del comportamento dinamico nel dominio della frequenza

Nel dominio della frequenza, si rappresenta tramite il diagramma di Bode il comportamento dinamico del circuito.

La funzione di rete $H\left(s\right)$ è un rapporto di funzioni polinomiali che sono le espressioni di due segnali sinusoidali:

$H\left(s\right)={\frac {s^{n_{z}}\left(z_{1}+s\right)\left(z_{2}+s\right)\cdots }{s^{n_{p}}\left(p_{1}+s\right)\left(p_{2}+s\right)\cdots }}=K\cdot s^{n_{z}-n_{p}}{\frac {\left(1+{s \over z_{1}}\right)\left(1+{s \over z_{2}}\right)\cdots }{\left(1+{s \over p_{1}}\right)\left(1+{s \over p_{2}}\right)\cdots }}$

Gli zeri sono le radici del numeratore (di cui $n_{z}$ nulle), i poli sono le radici del denominatore (di cui $n_{p}$ nulle). I poli sono una caratterizzazione univoca del comportamento del circuito, indipendentemente dalla funzione di rete. Il diagramma di Bode è la rappresentazione grafica della funzione di rete $H\left(s\right)$ nella sua restrizione ai numeri complessi $H\left(j\omega \right)$ (cioè l'amplificazione di tensione $A_{V}\left(j\omega \right)$ nel caso particolare degli amplificatori), in funzione della frequenza angolare $\omega$ (u.m. rad/s) espressa in scala logaritmica.

L'espressione in decibel (dB) del modulo della funzione di rete $\left|H\left(j\omega \right)\right|$ (cioè il guadagno di potenza $G_{P}$ nel caso particolare degli amplificatori) è, sostituendo $s$ con $j\omega$ e applicando le proprietà dei logaritmi e dei numeri complessi:

$\left|H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=20\log _{10}{\left|H\left(j\omega \right)\right|}=20\log _{10}{\left|K\right|}+20\left(n_{z}-n_{p}\right)\log _{10}{\omega }+20\sum \nolimits _{i}{\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{i}}^{2}}}}}}-20\sum \nolimits _{j}{\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{p_{j}}^{2}}}}}}$

Il diagramma di Bode è dato dalla somma dei contributi dei singoli termini:

• la costante $K$ contribuisce con una retta orizzontale;
• ogni zero nullo contribuisce con una retta di pendenza 20 dB/dec passante per $\left(z,\,20\log _{10}{z}\right)=\left(1\;{\text{rad}}/{\text{s}},\,0\;{\text{dB}}\right)$;
• ogni zero non nullo contribuisce con una spezzata composta da:
  • a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:

    $\omega \ll z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{1}=0\;{\text{dB}}$

  • in corrispondenza dello zero, uno scostamento verticale di entità trascurabile:

    $\omega \simeq z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{\sqrt {2}}\simeq 3\;{\text{dB}}$

  • a destra dello zero, una retta di pendenza 20 dB/dec intersecante l'asse orizzontale nello zero:

    $\omega \gg z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{\frac {\omega }{z_{j}}}\;{\text{dB}}$

• ogni polo contribuisce con una spezzata analoga a quella degli zeri, ma con pendenza negativa.

Per i tratti a pendenza 20 dB/dec, i rapporti tra frequenze e i rapporti tra ampiezze sono uguali.

Filtri passa-alto

Se si pone un condensatore in serie al flusso di segnale si ottiene un filtro passa-alto.

Cella RC passa-alto

Analisi nel tempo

Applicando un segnale a gradino a una cella RC passa-alto, la tensione di uscita $V_{2}$:

${\begin{cases}V_{2}\left(t\right)=\left[V_{2}\left(0^{+}\right)-V_{2}\left(+\infty \right)\right]e^{-{t \over \tau }}+V_{2}\left(+\infty \right)=V_{B}e^{-{t \over \tau }}+V_{A}\\V_{2}\left(0^{+}\right)=V_{1}\\V_{2}\left(+\infty \right)=0\end{cases}}\Rightarrow V_{2}\left(t\right)=V_{1}e^{-{t \over \tau }}$

presenta una risposta transitoria che ha nel tempo un andamento esponenziale decrescente.

Il grafico di $V_{2}$ è toccato in $t=0^{+}$ dalla retta tangente:

$V_{2}\left(t\right)=mt+V_{2}\left(0^{+}\right)$

di coefficiente angolare $m$:

$m=\left.D_{t}\left(V_{2}\left(t\right)\right)\right\vert _{t=0^{+}}=D_{t}\left.\left(V_{2}\left(0^{+}\right)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\right\vert _{t=0^{+}}=V_{2}\left(0^{+}\right)\left.\left(-{\frac {1}{\tau }}e^{-{t \over \tau }}\right)\right\vert _{t=0^{+}}=-{\frac {1}{\tau }}V_{2}\left(0^{+}\right)$

che interseca l'asse delle ascisse $t$ nel punto $t=\tau$:

$V_{2}\left(t\right)=0\Rightarrow 0=V_{2}\left(0^{+}\right)\left(-{\frac {1}{\tau }}t+1\right)\Rightarrow t=\tau$

Per questo motivo, la costante di tempo $\tau$ è detta costante di decadimento.

Analisi in frequenza

Il condensatore posto in serie al flusso di segnale si comporta come un filtro passa-alto, cioè attenua in dB a basse frequenze:

• i segnali a bassa frequenza ($\omega \ll {\tfrac {1}{\tau }}$) non passano: il condensatore si comporta come un circuito aperto → $V_{2}=0$;
• i segnali ad alta frequenza ($\omega \gg {\tfrac {1}{\tau }}$) passano: il condensatore si comporta come un cortocircuito → $V_{2}=V_{1}$.

Applicando il partitore di tensione sulla resistenza, si trova la seguente funzione di rete:

$H\left(s\right)={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {s\tau }{s\tau +1}}$

avente uno zero nell'origine ($\omega =z=1\,{\text{rad/ms}}$) e un polo in $\omega =p={\tfrac {1}{\tau }}\,{\text{rad/ms}}$, con $\tau =RC$.

I segnali ad alta frequenza in realtà vengono epurati della loro componente continua (DC), cioè viene mantenuta solamente la sinusoide azzerando il valor medio attorno a cui essa oscilla.

Amplificatore con cella RC passa-alto

Introducendo, come impedenza del generatore reale, un condensatore in serie nella linea di ingresso di un amplificatore, esso si comporta come un filtro passa-alto, filtrando le componenti continue dei segnali sinusoidali in ingresso e rispondendo con un transitorio agli ingressi a gradino.

Posto $A_{V}$ costante, la tensione $V_{1}$ filtrata dalla cella RC viene poi amplificata nella tensione $V_{C}=A_{V}V_{1}$ di uscita dell'amplificatore. La funzione di rete ${\tfrac {V_{C}}{V_{G}}}\left(s\right)$ complessiva:

${\begin{cases}V_{1}=H\left(s\right)\cdot V_{G}\\V_{C}=A_{V}\cdot V_{1}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V}\cdot H\left(s\right)$

presenta un diagramma di Bode analogo a quello della funzione di rete $H\left(s\right)$ della singola cella RC, ma per le proprietà dei logaritmi con sfalsamento costante pari a $20\log _{10}{A_{V}}$:

$\left|{\frac {V_{C}}{V_{G}}}\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=\left|A_{V}\cdot H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=A_{V}\left({\text{dB}}\right)+\left|H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=20\log _{10}{A_{V}}+20\log _{10}{\left|H\left(j\omega \right)\right|}$

Condensatori di disaccoppiamento tra stadi amplificatore in cascata

Se due stadi amplificatore sono posti in cascata separati da un condensatore di disaccoppiamento, il condensatore si comporta come un filtro passa-alto. La costante di tempo τ è uguale al prodotto tra la capacità $C$ e la resistenza equivalente $R_{\text{eq}}=R_{{\text{u}}_{1}}+R_{{\text{u}}_{2}}$ vista ai capi del condensatore allo spegnimento di tutti i generatori indipendenti.

Filtri passa-basso

A differenza di quello passa-alto, in un filtro passa-basso l'uscita viene presa ai capi del condensatore.

Cella RC passa-basso

Analisi nel tempo

Nella risposta al gradino, la tensione di uscita $V_{2}$ ha un andamento esponenziale crescente:

${\begin{cases}V_{2}\left(t\right)=\left[V_{2}\left(0^{+}\right)-V_{2}\left(+\infty \right)\right]e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{2}\left(+\infty \right)=V_{B}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{A}\\V_{2}\left(0^{+}\right)=0\\V_{2}\left(+\infty \right)=V_{1}\end{cases}}\Rightarrow V_{2}\left(t\right)=V_{1}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

Analisi in frequenza

Un filtro passa-basso consente il passaggio di segnali solo al di sotto di una certa frequenza. La funzione di rete $H\left(s\right)$ ha un polo a frequenza $\omega ={\tfrac {1}{\tau }}$:

$H\left(s\right)={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {1}{s\tau +1}}$

Il diagramma di Bode presenta un'attenuazione in dB dei segnali ad alta frequenza ($\omega \gg {\tfrac {1}{\tau }}$).

Amplificatore con cella RC passa-basso

La funzione di rete complessiva di un amplificatore passa-basso è:

${\begin{cases}V_{C}=A_{V}V_{1}{\frac {Z_{C}}{Z_{C}+R_{U}}}\\V_{1}=V_{G}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(s\right)=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {Z_{C}}{Z_{C}+R_{u}}}=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {R_{C}}{R_{C}+R_{u}}}{\frac {1}{1+sC_{1}{\frac {R_{C}R_{u}}{R_{C}+R_{u}}}}}$

con $Z_{C}=C_{1}||R_{C}$.

A $t\rightarrow +\infty$ nel dominio del tempo e per $\omega \rightarrow 0$ nel dominio della frequenza il condensatore si comporta come un circuito aperto, e il circuito diventa un normale stadio amplificatore con un generatore reale in ingresso e una resistenza di carico $R_{C}$ in uscita:

${\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {R_{C}}{R_{C}+R_{u}}}$

Pertanto la funzione di rete complessiva si può scrivere come il prodotto tra il valore in banda passante dell'amplificazione $A_{V_{1}}$ ($\omega \rightarrow 0$) e un termine legato al comportamento passa-basso:

${\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(s\right)=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)\cdot {\frac {1}{1+sC_{1}{\frac {R_{C}R_{u}}{R_{C}+R_{u}}}}}=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)\cdot {\frac {1}{1+s\tau }}$

dove vale ancora: $\tau =C_{1}\cdot \left(R_{C}||R_{u}\right)=R_{\text{eq}}C$.

Filtri passa-banda

Il circuito in figura presenta un condensatore di disaccoppiamento all'ingresso (cella passa-alto) e un carico reattivo all'uscita (cella passa-basso). I due condensatori si dicono disaccoppiati dal generatore di tensione interno all'amplificatore.

Analisi in frequenza

Il diagramma di Bode risulta dalla composizione dei due filtri passa-alto e passa-basso, aventi rispettivamente costanti di tempo ${\tau }_{1}$ e ${\tau }_{2}$ e poli ${\omega }_{1}$ e ${\omega }_{2}$, posti in cascata al flusso di segnale:

$V_{C}=A_{V}V_{G}{\frac {sC_{2}R_{2}}{1+sC_{2}R_{2}}}\cdot {\frac {1}{1+sC_{1}\left(R_{1}+R_{G}\right)}}=A_{V}V_{G}{\frac {s{\tau }_{1}}{1+s{\tau }_{1}}}\cdot {\frac {1}{1+s{\tau }_{2}}}$

Si definisce banda passante $B_{p}$ lo spettro di frequenza compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ e la frequenza di taglio superiore $f_{2}$:

• la frequenza di taglio inferiore $f_{1}={\tfrac {{\omega }_{1}}{2\pi }}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-alto;
• la frequenza di taglio superiore $f_{2}={\tfrac {{\omega }_{2}}{2\pi }}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-basso.

Mentre per annullare l'effetto passa-alto basta rimuovere il condensatore in ingresso, l'effetto passa-basso non si può eliminare a causa degli effetti di tipo capacitivo propri dei transistori, che sono dei dispositivi a semi-conduttore, di cui è composto l'amplificatore stesso.

Analisi nel tempo

La risposta nel tempo all'onda quadra (= successione di gradini alternati con periodo $T$) è una sovrapposizione dei transitori passa-alto e passa-basso. I ritardi e le rapidità con cui si manifestano i comportamenti passa-alto e passa-basso dipendono dall'ordine di grandezza del periodo $T$ dell'onda quadra rispetto agli ordini di grandezza delle costanti di tempo ${\tau }_{1}$ e ${\tau }_{2}$ associate rispettivamente ai comportamenti passa-alto e passa-basso:

• se $T\ll {\tau }_{1}\Rightarrow {\overline {\omega }}\ll {\omega }_{2}$: il comportamento passa-alto è trascurabile perché il suo transitorio si manifesta con troppo ritardo → prevale il comportamento passa-basso: allo sbalzo di tensione il segnale è totalmente attenuato, ma questa attenuazione si riduce durante il tratto costante;
• se $T\gg {\tau }_{2}\Rightarrow {\overline {\omega }}\ll {\omega }_{2}$: il comportamento passa-basso è trascurabile perché il suo transitorio si esaurisce subito → prevale il comportamento passa-alto: al termine del breve transitorio passa-basso il segnale è totalmente amplificato, ma questa amplificazione si riduce durante il tratto costante.

Amplificatore in continua

Gli amplificatori in continua (es. alimentatori) forniscono segnali DC a tensione costante (→ $\omega =0$) indipendentemente dal carico, perché hanno una frequenza di taglio inferiore ${\omega }_{1}=0$.

Celle del II ordine

A seconda del tipo di segnale su cui deve operare, un amplificatore deve garantire una banda passante entro la quale rientrino tutte le possibili frequenze del tipo di segnale:

• amplificatori a larga banda (audio): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno a basse frequenze ~Mhz (es. altoparlante);
• amplificatori accordati (di potenza RF): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno ad alte frequenze ~Ghz (es. microfono).

Amplificatori accordati

Gli amplificatori accordati sono di solito realizzati con celle reattive del II ordine, cioè circuiti risonatori aventi un induttore e un condensatore nella stessa maglia. Un circuito risonatore è caratterizzato da una funzione di trasferimento a poli complessi coniugati del tipo:

$H\left(s\right)=K\left(s\right)\cdot {\frac {1}{s^{2}+2\xi {\omega }_{n}s+{{\omega }_{n}}^{2}}}$

dove:

• ${\omega }_{n}$ è la frequenza di risonanza;
• $\xi$ ("xi") è lo smorzamento.

Amplicatore accordato con cella RC

L'amplificatore con cella LC è un amplificatore accordato con impedenza di carico costituita dal parallelo di un induttore $L$, un condensatore $C$ e un resistore $R_{C}$.

Analisi in frequenza

Tramutando internamente all'amplificatore la serie generatore di tensione-resistore nel parallelo generatore di corrente-resistore, si trova la seguente funzione di rete $H\left(s\right)$:

$I_{R_{C}}={\frac {G_{m}V_{i}}{R_{u}}}\cdot {\frac {\frac {1}{R_{C}}}{R_{C}||R_{u}||L||C}}\Rightarrow H\left(s\right)={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {G_{m}}{R_{u}}}\cdot {\frac {1}{R||L||C}}={\frac {G_{m}}{R_{u}}}{\frac {s}{C}}\cdot {\frac {1}{s^{2}+{\frac {1}{RC}}s+{\frac {1}{LC}}}}$

dove:

${\begin{cases}2\xi {\omega }_{n}={\frac {1}{RC}}\\{{\omega }_{n}}^{2}={\frac {1}{LC}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}\xi ={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {L}}{R{\sqrt {C}}}}\\{\omega }_{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\end{cases}}$

il cui modulo ha un andamento in frequenza "a campana" di ampiezza ∼$\xi$ centrata attorno a ${\omega }_{n}$.

Analisi nel tempo

Se la resistenza di perdita è sufficientemente piccola → $\xi$ non è troppo elevato, le risposte al gradino e all'impulso presentano un andamento oscillante di periodo $T={\tfrac {1}{{\omega }_{n}}}$ con uno smorzamento proporzionale a $\xi$.

Da rete a doppio bipolo

Si opera in maniera analoga agli amplificatori resistivi in continua, tenendo conto che i 3 parametri $Z_{i}\left(s\right)$, $Z_{u}\left(s\right)$ e $A_{V}\left(s\right)$ possono essere complessi.

Linearità e non linearità

Rappresentazione della relazione tra ingresso e uscita

La relazione tra tensione di ingresso $V_{i}\left(t\right)$ e tensione di uscita $V_{u}\left(t\right)$ di un dispositivo si può rappresentare attraverso:

• due grafici separati di $V_{i}\left(t\right)$ e $V_{u}\left(t\right)$;
• il grafico della funzione di trasferimento $H\left(s\right)={\frac {V_{u}\left(s\right)}{V_{i}\left(s\right)}}$;
• il grafico della transcaratteristica $V_{u}\left(V_{i}\right)$: è variabile a seconda di $\omega$ → è difficile rappresentare comportamenti dovuti a bipoli dinamici.

Moduli lineari

Il grafico della transcaratteristica ideale è una retta passante per l'origine.

Il grafico della transcaratteristica di un modulo lineare è una retta che si discosta dall'idealità in base a 3 parametri, a 2 a 2 indipendenti:

• guadagno $\Delta K$: differenza di pendenza tra i due andamenti rettilinei;
• offset $\Delta U$ (verticale): valore di uscita a ingresso nullo;
• offset $\Delta I$ (orizzontale): valore d'ingresso che annulla l'uscita.

Moduli non lineari

Il grafico della transcaratteristica di un modulo non lineare non ha andamento rettilineo, e non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il circuito raddrizzatore è un modulo non lineare, ma lineare a tratti, che restituisce in uscita solo le tensioni d'ingresso positive:

$V_{u}={\begin{cases}0\quad {\text{se}}\,V_{i}<0\\V_{i}\quad {\text{se}}\,V_{i}\geq 0\end{cases}}$

Altri moduli permettono di saturare un ingresso di tipo sinusoidale entro un certo intervallo di valori.

Moduli reali

• limiti di dinamica: tutti i moduli reali non sono lineari, ma alcuni sono approssimabili linearmente, cioè la transcaratteristica è approssimabile a una retta (per esempio la tangente) entro una restrizione di valori in ingresso, cioè limitando le dinamiche d'ingresso e uscita, che sono strettamente correlate tra loro attraverso la pendenza della retta; in uno stadio amplificatore, la dinamica di uscita è limitata dalla dinamica delle tensioni di alimentazione, in particolare superiormente a $+{V_{\text{AL}}}_{1}$ e inferiormente a $-{V_{\text{AL}}}_{2}$;
• limiti fisici: se la tensione in ingresso è troppo elevata può danneggiare il modulo, soprattutto se la tensione di alimentazione è bassa;
• limiti di banda: mentre la frequenza massima non può superare i limiti fisici del modulo, la frequenza minima può anche essere scelta nulla, ma è consigliabile limitare anche la frequenza minima per escludere le frequenze basse di rumore.

Un amplificatore non lineare introduce una distorsione nel segnale: se per esempio viene fornito in ingresso un segnale con una singola frequenza fondamentale $f_{0}$, il segnale amplificato sarà caratterizzato anche dalle sue frequenze multiple $2f_{0}$, $3f_{0}$, ecc. dette armoniche. La distorsione armonica totale ${\text{THD}}$ misura il livello di distorsione del segnale amplificato in uscita rispetto alla fondamentale:

${\text{THD}}={\frac {\sum _{i=2}\left|u_{i}\right|}{\left|u_{1}\right|}}$