Sistemi e tecnologie elettroniche/Il transistore bipolare

Sistemi e tecnologie elettroniche

Copertina

Tutti i moduli · Sviluppo

CopertinaSistemi e tecnologie elettroniche/Copertina

1. Sistemi e segnali elettroniciSistemi e tecnologie elettroniche/Sistemi e segnali elettronici
2. Gli amplificatoriSistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori
3. Gli amplificatori: comportamento in frequenzaSistemi e tecnologie elettroniche/Gli amplificatori: comportamento in frequenza
4. Amplificatore operazionale idealeSistemi e tecnologie elettroniche/Amplificatore operazionale ideale
5. Circuiti con amplificatori operazionali idealiSistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti con amplificatori operazionali ideali
6. L'amplificatore operazionale realeSistemi e tecnologie elettroniche/L'amplificatore operazionale reale
7. I semiconduttoriSistemi e tecnologie elettroniche/I semiconduttori
8. La giunzione pnSistemi e tecnologie elettroniche/La giunzione pn
9. Il transistore bipolareSistemi e tecnologie elettroniche/Il transistore bipolare
10. Il transistore MOSFETSistemi e tecnologie elettroniche/Il transistore MOSFET
11. Uso in commutazione dei transistoriSistemi e tecnologie elettroniche/Uso in commutazione dei transistori
12. Circuiti logici: specifiche funzionaliSistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti logici: specifiche funzionali
13. Circuiti logici: caratteristiche elettriche e interfacciamentoSistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti logici: caratteristiche elettriche e interfacciamento
14. Circuiti logici combinatoriSistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti logici combinatori

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Il transistore è un dispositivo elettronico caratterizzato da:

• almeno tre terminali, uno dei quali individua il terminale comune tra la porta di ingresso e la porta di uscita;
• una corrente di uscita $I_{u}$ che dipende, oltre che dalla tensione di uscita $V_{u}$, anche dal segnale di ingresso:
  • transistore bipolare: (analogico) la caratteristica di uscita $I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)$ è controllata in corrente $I_{i}$;
  • transistore a effetto di campo (FET): (digitale) la caratteristica di uscita $I_{u}\left(V_{u},V_{i}\right)$ è controllata in tensione $V_{i}$.

I transistori trovano applicazione nei generatori pilotati, negli amplificatori, nei circuiti digitali... Per le leggi di Kirchhoff:

${\begin{cases}I_{1}+I_{2}+I_{3}=0\\V_{21}=V_{2}-V_{1}=V_{23}-V_{13}\end{cases}}$

Il transistore bipolare a giunzione è un dispositivo caratterizzato da tre terminali detti emettitore, base e collettore, che corrispondono alle tre regioni ottenute unendo due giunzioni pn in antiserie.

Regioni di funzionamento

A seconda della polarizzazione delle due giunzioni, si hanno quattro regioni di funzionamento:

• regione attiva diretta: giunzione BE in diretta ($V_{BE}>0$), giunzione BC in inversa ($V_{BC}<0$);
• regione attiva inversa: giunzione BE in inversa ($V_{BE}<0$), giunzione BC in diretta ($V_{BC}>0$): le prestazioni da amplificatore sono pessime perché il transistore bipolare non è ottimizzato in termini di livelli di drogaggio per lavorare in regione attiva inversa;
• regione di interdizione: giunzione BE in inversa ($V_{BE}<0$), giunzione BC in inversa ($V_{BC}<0$): approssima il circuito aperto ($I_{C}\approx I_{E}\approx 0$) perché i portatori maggioritari non sono spinti dall'emettitore al collettore;
• regione di saturazione: giunzione BE in diretta ($V_{BE}>0$), giunzione BC in diretta ($V_{BC}>0$): approssima il cortocircuito perché la caduta di potenziale è trascurabile ($V_{CE}=V_{BE}-V_{BC}\approx 0$) con un forte flusso di corrente.

Le regioni attive sono usate per le applicazioni analogiche, le altre due per le applicazioni digitali.

Regione attiva diretta

Uso come amplificatore (analogico)

Si collegano un generatore di corrente $I_{i}$ e una resistenza di carico $R_{c}$ a un transistore che lavora in condizioni di piccolo segnale. Un amplificatore richiede una relazione lineare tra ingresso e uscita:

${\begin{cases}I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)=I_{u}\left({V_{u}}_{0}+{v_{u}}_{ss}\left(t\right),{I_{i}}_{0}+{i_{i}}_{ss}\left(t\right)\right)\simeq I_{u}\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\\I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)={I_{u}}_{0}+{i_{u}}_{ss}\left(t\right)=I_{u}\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)+{i_{u}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{i_{u}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\\{i_{u}}_{ss}\left(t\right)=C\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}C={\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\\{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)=0\Leftrightarrow I_{u}\left(V_{u}\right)={\text{cost.}}\end{cases}}$

Affinché sia un amplificatore, la caratteristica di uscita $I_{u}$ deve dipendere da $V_{i}$ ma non da $V_{u}$.

Descrizione qualitativa

Per esempio, nel transistore npn:

1. la tensione di polarizzazione diretta applicata sulla giunzione np a sinistra spinge gli elettroni liberi maggioritari dal suo lato n (emettitore) alla regione p (base) in comune con la giunzione pn a destra;
2. se la base è abbastanza sottile (in particolare più corta della lunghezza di diffusione), gli elettroni non fanno in tempo a ricombinarsi ed entrano nella regione svuotata della giunzione pn a destra;
3. la tensione di polarizzazione inversa della giunzione pn a destra li spinge verso il suo lato n (collettore), creando una corrente di trascinamento.

In questo modo, la corrente di trascinamento generata è molto più alta di quella che si otterrebbe da una giunzione pn isolata, perché ai portatori minoritari della giunzione pn a destra si aggiungono i portatori maggioritari provenienti dalla giunzione np a sinistra; per questo motivo, la corrente di trascinamento generata è fortemente dipendente dalla tensione di polarizzazione diretta applicata alla giunzione pn il cui lato n è l'emettitore, e viceversa per il collettore → il transistore bipolare è un amplificatore perché la corrente di uscita $I_{C}$ è indipendente dalla tensione applicata sull'uscita $V_{CE}$.

Nonostante sia geometricamente simmetrica, la struttura del transistore bipolare non è simmetrica in quanto i livelli di drogaggio dell'emettitore e del collettore differiscono in modo che il transistore sia ottimizzato per lavorare in regione attiva diretta.

Descrizione quantitativa

Le concentrazioni di portatori minoritari ai confini delle regioni di svuotamento seguono le leggi delle giunzioni:

• regione di svuotamento tra emettitore e base:

  ${\begin{cases}p_{n}'\left({x_{E}}^{-}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{D}}_{E}}}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\n_{p}'\left({x_{E}}^{+}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{A}}_{B}}}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$

• regione di svuotamento tra base e collettore:

  ${\begin{cases}n_{p}'\left({x_{C}}^{-}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{A}}_{B}}}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\\p_{n}'\left({x_{C}}^{+}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{D}}_{C}}}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$

Poiché i bordi della giunzione sono dei contatti ohmici, non ci sono portatori minoritari in eccesso. Spesso l'emettitore e la base sono lati corti e il collettore è un lato lungo → gli eccessi di portatori minoritari hanno un andamento esponenziale nel collettore e lineare nella base e nell'emettitore → le correnti di diffusione, legate alle derivate degli eccessi di portatori minoritari, sono costanti nella base e nell'emettitore, ed esponenziali ma molto piccole nel collettore.

Il flusso $F$ di portatori è il numero di portatori per unità di tempo e di area che si spostano:

${\begin{cases}\left|{J_{\text{diff}}}_{n}\right|=q\left|F_{n}\right|\\\left|{J_{\text{diff}}}_{p}\right|=q\left|F_{p}\right|\end{cases}}$

In totale sono presenti 5 flussi di carica:

${\begin{cases}I_{E}=-qA{F_{n}}_{EB}-qA{F_{p}}_{BE}\\I_{C}=qA{F_{n}}_{BC}+\left(qA{{F_{n}}_{BC}}_{0}+qA{{F_{p}}_{CB}}_{0}\right)=qA{F_{n}}_{BC}+{I_{CB}}_{0}\approx qA{F_{n}}_{BC}\end{cases}}$

dove:

• la corrente $I_{E}$ deriva dal moto di portatori in corrispondenza della regione svuotata tra emettitore e base;
• la corrente $I_{C}$ deriva dal moto di portatori in corrispondenza della regione svuotata tra base e collettore.

Il flusso ${F_{n}}_{BC}$ dei portatori maggioritari provenienti dall'emettitore si aggiunge ai flussi ${{F_{n}}_{BC}}_{0}$ e ${{F_{p}}_{BC}}_{0}$ di portatori minoritari che avrebbe il collettore se fosse isolato dall'emettitore, e che danno origine alla piccolissima corrente inversa di saturazione ${I_{CB}}_{0}$.

Parametri di efficienza del dispositivo a transistore

Il comportamento da amplificatore è accentuabile minimizzando la corrente di ingresso $I_{B}$:

${\begin{cases}I_{B}+I_{C}+I_{E}=0\\I_{B}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow I_{C}\approx -I_{E}$

cioè minimizzando il flusso di lacune maggioritarie ${F_{p}}_{BE}$ tra base ed emettitore con un differente livello di drogaggio tra base ed emettitore:

${\begin{cases}I_{B}=-I_{C}-I_{E}=qA{F_{n}}_{EB}+qA{F_{n}}_{BE}-qA{F_{n}}_{BC}\\I_{C}\approx -I_{E}\\{N_{A}}_{B}\ll {N_{D}}_{E}\Rightarrow {F_{p}}_{BE}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{B}\approx 0\\{F_{n}}_{EB}\approx {F_{n}}_{BC}\end{cases}}$

I fattori di merito del transistore sono due parametri che misurano la qualità del dispositivo, perché sono tanto più vicini a 1 quanto più è minimizzata la corrente di ingresso $I_{B}$:

• la condizione ${F_{p}}_{BE}\approx 0$ è misurata dall'efficienza di iniezione di emettitore $\gamma$:

$\gamma ={\frac {{F_{n}}_{EB}}{{F_{n}}_{EB}+{F_{p}}_{BE}}}\leq 1$

che per avvicinarsi all'idealità impone la seguente condizione sui livelli di drogaggio di base ${N_{A}}_{B}$ ed emettitore ${N_{D}}_{E}$:

$\gamma ={\frac {1}{1+{\frac {{D_{p}}_{E}}{{D_{n}}_{B}}}\cdot {\frac {{N_{A}}_{B}}{{N_{D}}_{E}}}\cdot {\frac {w_{B}}{w_{E}}}}}\to 1\Leftrightarrow {N_{A}}_{B}\ll {N_{D}}_{E}$

• la condizione ${F_{n}}_{EB}\approx {F_{n}}_{BC}$ è misurata dal fattore di trasporto di base $b$:

$b={\frac {{F_{n}}_{BC}}{{F_{n}}_{EB}}}\leq 1$

che per avvicinarsi all'idealità impone che la base sia un lato corto:

$b={\frac {1}{\cosh {\frac {w_{B}}{{L_{n}}_{B}}}}}\to 0\Leftrightarrow w_{B}\ll {L_{n}}_{B}$

Altri parametri descrivono l'efficienza del dispositivo:

• l'amplificazione di corrente a base comune $\alpha _{F}$, idealmente pari a 1, lega la corrente $I_{C}$ del collettore alla corrente $I_{E}$ dell'emettitore:

$\alpha _{F}=\gamma _{b}<1\Rightarrow I_{C}=-\alpha _{F}I_{E}+{I_{CB}}_{0}\approx -\alpha _{F}I_{E}$

dove la corrente inversa di saturazione ${I_{CB}}_{0}$ è detta corrente di collettore a emettitore aperto (cioè se $I_{E}=0\Rightarrow I_{C}={I_{CB}}_{0}$);

• l'amplificazione di corrente a emettitore comune $\beta _{F}$, idealmente molto grande, lega la corrente $I_{C}$ del collettore alla corrente $I_{B}$ della base:

$\beta _{F}={\frac {\alpha _{F}}{1-\alpha _{F}}}\Rightarrow I_{C}=\beta _{F}I_{B}+{I_{CE}}_{0}$

dove ${I_{CE}}_{0}$ è la corrente di collettore a base aperta ($I_{B}=0$):

${\begin{cases}{I_{CE}}_{0}={\frac {\beta _{F}}{\alpha _{F}}}{I_{CB}}_{0}\\\alpha _{F}\to 1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{I_{CE}}_{0}\approx \beta _{F}{I_{CB}}_{0}\\{I_{CB}}_{0}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow I_{C}\approx \beta _{F}I_{B}$

Modello statico di Ebers Moll

Configurazione a base comune

Il modello statico di Ebers Moll generalizza il funzionamento in regione attiva diretta → vale in ogni regione di funzionamento indipendentemente dalla polarizzazione delle tensioni applicate:

${\begin{cases}I_{E}=-I_{F}+\alpha _{R}I_{R}\\I_{C}=-I_{R}+\alpha _{F}I_{F}\end{cases}}$

dove:

• $I_{F}$ e $I_{R}$ sono le caratteristiche statiche delle singole giunzioni:

  ${\begin{cases}I_{F}={I_{E}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\I_{R}={I_{C}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$

• $\alpha _{R}$ è l'amplificazione di corrente a base comune in regione attiva inversa, legata ad $\alpha _{F}$ dalla condizione di reciprocità:

  $\alpha _{R}{I_{C}}_{0}=\alpha _{F}{I_{E}}_{0}$

Il circuito equivalente sostituisce a ogni giunzione il parallelo tra un diodo, rappresentante il flusso di corrente che la giunzione avrebbe se fosse isolata, e un generatore pilotato di corrente, rappresentante il contributo in corrente proveniente dall'altra giunzione:

• regione attiva diretta: la corrente dei portatori minoritari della giunzione base-collettore $I_{R}$ è trascurabile:

  ${\begin{cases}I_{E}=-I_{F}\\I_{C}=\alpha _{F}I_{F}\\I_{B}=-I_{C}-I_{E}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{C}\approx -\alpha _{F}I_{E}=\alpha _{F}{I_{E}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\I_{B}\approx \left(1-\alpha _{F}\right)I_{E}\end{cases}}$

• regione attiva inversa: la corrente dei portatori minoritari della giunzione base-emettitore $I_{E}$ è trascurabile:

  ${\begin{cases}I_{C}=-I_{R}\\I_{E}=\alpha _{R}I_{R}\end{cases}}\Rightarrow I_{E}\approx -\alpha _{R}I_{C}$

Configurazione a emettitore comune

Il modello statico di Ebers Moll descrive un transistore in configurazione a base comune:

${\begin{cases}I_{E}=f\left(V_{BE},V_{BC}\right)\\I_{C}=f\left(V_{BE},V_{BC}\right)\end{cases}}$

Nella configurazione a emettitore comune, l'ingresso è la corrente $I_{B}$ entrante nella base, e l'uscita è la corrente $I_{C}$ entrante nel collettore. Il terminale in comune tra ingresso e uscita è l'emettitore, a cui fanno riferimento tutte le tensioni:

${\begin{cases}I_{B}=f\left(V_{BE},V_{CE}\right)\\I_{C}=f\left(V_{BE},V_{CE}\right)\end{cases}}$

In regione attiva diretta ($V_{CE}\geq 0,2\;V$):

• la caratteristica di ingresso $I_{B}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$, per ogni tensione $V_{BE}$ fissata, è indipendente dalla tensione $V_{CE}$, e quindi $V_{BC}$, applicata, ed è approssimabile a una "spezzata" nel punto di accensione ($V_{BE}=0,5\div 0,6\;V$ per il silicio);
• la corrente di uscita $I_{C}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$, per ogni corrente di ingresso $I_{B}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$ fissata, è indipendente dalla tensione $V_{CE}$ applicata, ed è approssimabile con un "pettine" e con una resistenza finita in condizioni di saturazione.

Uso in commutazione (digitale)

Il circuito in figura impone una retta di carico alla porta di uscita (collettore):

$V_{CC}=R_{C}I_{C}+V_{CE}$

Il transistore bipolare può essere usato nelle applicazioni digitali commutando, attraverso la scelta della corrente di ingresso $I_{B}$, tra la regione di saturazione ($V_{CE}={V_{CE}}_{\text{sat}}\approx 0$) e quella di interdizione ($I_{C}=0$).

Il punto di funzionamento $\left({I_{C}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)$ del transistore è l'intersezione tra la retta di carico e la caratteristica di uscita $I_{C}=\beta _{F}I_{B}$:

• interdizione (circuito aperto):

  $I_{B}\approx 0\Rightarrow {\begin{cases}{I_{C}}_{0}\approx 0\\{V_{CE}}_{0}\approx V_{CC}\end{cases}}$

• saturazione/conduzione (cortocircuito):

  $I_{B}\geq {\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}}}\Rightarrow {\begin{cases}{I_{C}}_{0}={\frac {V_{CC}-{V_{CE}}_{\text{sat}}}{R_{C}}}\approx {\frac {V_{CC}}{R_{C}}}\\{V_{CE}}_{0}\approx {V_{CE}}_{\text{sat}}\end{cases}}$

Più la corrente $I_{B}$ è elevata, più si garantisce che la tensione ${V_{CE}}_{0}$ sia compresa nella regione di saturazione (${V_{CE}}_{0}<{V_{CE}}_{\text{sat}}$), e più è bassa la potenza dissipata $P={V_{CE}}_{0}\cdot {I_{C}}_{0}\leq {V_{CE}}_{0}\cdot \left({\beta _{F}}_{\text{min}}I_{B}\right)$ → per massimizzare la corrente $I_{B}$ così da minimizzare la tensione ${V_{CE}}_{0}$, conviene scegliere l'estremo inferiore ${\beta _{F}}_{\text{min}}$ della fascia di incertezza di $\beta _{F}$.

Effetto Early

In regione attiva diretta, a un aumento della tensione $V_{CE}$ corrisponde un aumento della tensione di polarizzazione inversa $V_{BC}$ → la regione svuotata della giunzione base-collettore allarga i propri confini $x_{p}$ e $x_{n}$, in particolare avvicinandosi all'emettitore dalla parte della base → aumenta il flusso di elettroni maggioritari provenienti dall'emettitore → le caratteristiche di uscita $I_{C}\left(V_{CE}\right)$ non sono più idealmente costanti al variare della tensione di uscita $V_{CE}$, ma convergono alla tensione di Early $-V_{A}$ con pendenza ${\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}+{V_{C}}_{0}}}$.

Per minimizzare l'effetto Early, poiché vale la condizione di neutralità:

${N_{A}}_{B}x_{p}={N_{D}}_{C}x_{n}\Rightarrow {\frac {{N_{A}}_{B}}{{N_{D}}_{C}}}={\frac {x_{p}}{x_{n}}}={\text{cost.}}$

si può minimizzare l'estensione del confine $x_{p}$ nella base imponendo un differente livello di drogaggio tra base e collettore:

${N_{A}}_{B}\gg {N_{D}}_{C}$

in modo che la regione di svuotamento si estenda di più nel collettore dalla parte del confine $x_{n}$. In definitiva:

${N_{D}}_{E}\gg {N_{A}}_{B}\gg {N_{D}}_{C}$

Fenomeni di breakdown

L'allargamento della regione svuotata verso l'emettitore può portare al breakdown per perforazione diretta (la base "sfora" nella regione svuotata della giunzione base-emettitore) o per effetto valanga: si verifica quindi un forte aumento della tensione $V_{CE}$ e della corrente di uscita $I_{C}$, e quindi della potenza dissipata.

Modello dinamico di Ebers Moll

Modello dinamico di ampio segnale

Il modello dinamico di ampio segnale aggiunge al modello statico di Ebers Moll:

• due coppie di condensatori (non lineari) in parallelo, che tengono conto degli effetti capacitivi di ritardo associati alle singole giunzioni (ovvero la capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$ e la capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$);
• tre resistenze parassite collegate ai tre terminali, che tengono conto delle perdite in prestazioni.

Modello statico di piccolo segnale

Scomponendo, linearizzando e approssimando in piccolo segnale le caratteristiche $I_{C}$ e $I_{B}$ della configurazione a emettitore comune, si trovano le espressioni del doppio bipolo transistore:

${\begin{cases}{i_{B}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)=g_{11}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+g_{12}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)\\{i_{C}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)=g_{21}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+g_{22}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}$

dove, in regione attiva diretta:

• $g_{11}$ e $g_{22}$ sono delle conduttanze:

  ${\begin{cases}g_{11}={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {g_{21}}{\beta _{F}}}={\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}V_{T}}}\\g_{22}={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}+{V_{C}}_{0}}}\approx {\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}}}\end{cases}}$

• $g_{12}$ e $g_{21}$ sono delle trans-conduttanze:

  ${\begin{cases}g_{12}={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {g_{22}}{\beta _{F}}}\approx {\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}V_{A}}}\\g_{21}={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{T}}}\end{cases}}$

Le equazioni sono interpretabili circuitalmente come il circuito a π in figura, dove:

${\begin{matrix}r_{\pi }={\frac {1}{g_{11}}}=\beta _{F}{\frac {V_{T}}{{I_{C}}_{0}}}&&r_{o}={\frac {1}{g_{22}}}={\frac {V_{A}}{{I_{C}}_{0}}}\\r_{\mu }={\frac {1}{g_{12}}}=\beta _{F}{\frac {V_{A}}{{I_{C}}_{0}}}&&g_{m}=g_{21}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{T}}}\end{matrix}}$

$g_{m}$ è la transconduttanza del transistore nel suo punto di funzionamento a riposo, e lega la corrente di uscita $i_{C}$ e la tensione di ingresso $V_{BE}$ → per avere un'amplificazione elevata, il transistore va polarizzato con una corrente di collettore ${I_{C}}_{0}$ elevata. In assenza di effetto Early, le resistenze $r_{\mu }$ e $r_{o}$ che modellizzano le perdite non hanno più influenza:

$V_{A}\to +\infty \Rightarrow {\begin{cases}r_{\mu }\to +\infty \\r_{o}\to +\infty \end{cases}}$

Modello dinamico di piccolo segnale

Gli effetti capacitivi che tengono conto del comportamento dinamico sono dati dai contributi della capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$ della giunzione base-collettore e della capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$ della giunzione base-emettitore. Ad alta frequenza, i condensatori si approssimano al cortocircuito → impediscono al dispositivo di funzionare.