Algebra 1/Calcolo Letterale/Frazioni Algebriche

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Definizione di frazione algebrica[modifica]

Diamo la seguente definizione:

Definizione: Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo dove e sono polinomi.


Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

Esempio: Determinare il quoziente tra e .
Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali: . Il quoziente è quindi un monomio.

Esempio: Determinare il quoziente tra e .
In questo caso l’esponente della nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene .
Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile . Quindi: . Il quoziente è una frazione algebrica.

Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.

Caso I  Monomio diviso un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra: e .

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione. .

Caso II  Un polinomio diviso un monomio.

  • Determinare il quoziente tra: e .

. Il quoziente è un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra: e .

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà . Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.

Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.

  • Determinare il quoziente tra: e .

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica .

Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

Condizioni di esistenza per una frazione algebrica[modifica]

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per , una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con ): .

La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
. Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né , quindi e . Concludendo, .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
, per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni: si può concludere .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
, il binomio è sempre maggiore di perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo (si legge “per ogni appartenente a ” o “qualunque appartenente a ”).

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di .
; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere e questo si verifica se oppure se ; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come , essendo un prodotto possiamo scrivere e concludere: .

Procedura: Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:

  1. porre il denominatore della frazione diverso da zero;
  2. scomporre in fattori il denominatore;
  3. porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
  4. escludere i valori che annullano il denominatore.


Semplificazione di una frazione algebrica[modifica]

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il .

Esempio: Semplificare .
. Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base: e . Quindi:

Esempio: Ridurre ai minimi termini la frazione: .

  • Scomponiamo in fattori
    • il numeratore: ;
    • il denominatore: ;
  • riscriviamo la frazione ;
  • da cui e , il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
  • semplifichiamo: .

Esempio: Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili: .

  • Scomponiamo in fattori
    • ;
    • ;
  • la frazione diventa: ;
  • cioè ;
  • semplifichiamo i fattori uguali: .

Le seguenti semplificazioni sono errate.

  • questa semplificazione è errata perché e sono addendi, non sono fattori;
  • questa semplificazione è errata perché è un addendo, non un fattore;
  • ,, ;
  • ,.

Moltiplicazione di frazioni algebriche[modifica]

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto ; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta: , oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare: .

Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche e .
Poniamo le per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi . Il prodotto è la frazione .

Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche e .
L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza: dunque . Il prodotto è la frazione in cui non è possibile alcuna semplificazione.

Osservazione: . Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile .


Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sono polinomi e .

  • Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle ) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
    • ,
    • ;
  • poniamo le ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero: da cui ;
  • determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
    • .

Potenza di una frazione algebrica[modifica]

La potenza di esponente , naturale diverso da zero, della frazione algebrica con () è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente del numeratore e per denominatore la potenza di esponente del denominatore: .

Esempio: Calcoliamo .
Innanzi tutto determiniamo le per la frazione assegnata

da cui . Dunque si ha

Casi particolari dell’esponente[modifica]

Se sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a ; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla. con e .

Esempio: Quali condizioni deve rispettare la variabile per avere ?

  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione: ;
  • determiniamo le del denominatore: da cui, . Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con questa condizione, dunque : , da cui ;
  • le condizioni di esistenza sono allora .

Se è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente. con e .

Esempio: Determinare .

  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore: ;
  • del denominatore e da cui essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere da cui e ;
  • quindi se , e si ha .

Divisione di frazioni algebriche[modifica]

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:

Si vuole determinare il quoziente . L’inverso di è la frazione , dunque

Esempio: Determinare il quoziente delle frazioni algebriche e .

  • Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche:
  • poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori: da cui ;
  • determiniamo la frazione inversa di . Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero, da cui ;
  • aggiorniamo le condizioni ;
  • cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:

Addizione di frazioni algebriche[modifica]

Proprietà della addizione tra frazioni algebriche[modifica]

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

  • è commutativa: ;
  • è associativa: ;
  • possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione tale che per qualunque frazione si abbia cioè ;
  • elemento inverso: per ogni frazione algebrica esiste la frazione opposta tale che

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi; omettendo il segno di addizione “” e togliendo le parentesi diventa ; omettendo il segno di sottrazione “” e togliendo le parentesi diventa . Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.

Esempio: Le frazioni hanno lo stesso denominatore.
Poniamo le da cui , quindi

Osservazione: A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il dei denominatori delle frazioni addendi.


Esempio: .
Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

  • calcoliamo il ;
  • poniamo le da cui e ;
  • dividiamo il per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
  • la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:

Esempio: .

  • Scomponiamo in fattori i denominatori:

il è ;

  • poniamo le da cui , e ;
  • dividiamo il per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:

Esempio: .

  • Scomponiamo in fattori , essendo gli altri denominatori irriducibili: che è anche il dei denominatori;
  • poniamo le da cui , e ;
  • dividiamo il per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è:

Esercizi del capitolo[modifica]