Algebra 1/Numeri/I Sistemi di Numerazione

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La scrittura in base 10[modifica]

Il nostro sistema di numerazione è il sistema decimale. Ciò ha probabilmente origine dal fatto che abbiamo 10 dita. Forse se fossimo nati ragni avremmo contato fino ad otto ed useremo un sistema di numerazione ottale, se fossimo nati gatti avremmo contato fino a 4 e useremo un sistema quattrale, millepiedi fino a mille.

Come conta un computer? Un computer ragiona sulla base di soli due stati, passa corrente (acceso) o non passa corrente (spento): è come se avesse due dita. Tutti i sistemi che oggi usiamo nell’informatica utilizzano una logica a due stati: i circuiti elettrici possono trovarsi nello stato di acceso o di spento, i dischi magnetici dell’hard disk sono composti da microscopici magneti ognuno dei quali può essere magnetizzato in un verso o nel verso opposto, i dischi ottici come i CD-ROM e i DVD memorizzano le informazioni al loro interno come se contenessero tanti microscopici specchi ognuno dei quali riflette la luce oppure no.

Nell’antichità si usava uno strumento chiamato abaco. Gli abachi erano tavolette suddivise in colonne su cui si spalmavano cera o sabbia e si incidevano segni o si mettevano sassolini.

Per contare un certo numero di oggetti e ricordarci quanti sono, utilizziamo un abaco:

Algebra1 05 fig001.svg

Cominciamo a contare con le mani: per ogni raggruppamento di 10 segniamo un’unità di ordine superiore, fino a contare tutti gli elementi del nostro insieme. Le unità che rimangono, perché non riescono a formare un raggruppamento di 10, vengono segnate con la cifra che le rappresenta: nel nostro caso 3.

Passiamo all’unità di ordine superiore: le decine. Anche con queste formiamo raggruppamenti di 10, se ci riusciamo. Ogni raggruppamento forma un’unità di ordine superiore, se rimangono elementi che non si raggruppano essi rappresentano le decine. Se non rimane alcuna unità scriviamo 0. Nel nostro caso, ci sono 12 decine, 10 formano un’unità di ordine superiore (centinaia) e 2 restano decine.

Il procedimento continua finché non abbiamo finito di contare tutti gli elementi. Nel nostro esempio finiamo dopo aver formato un’unità di ordine superiore, le centinaia. Il nostro numero è . Ovviamente i numeri 123 e 312 sono due numeri diversi anche se composti dalle stesse cifre, sono diversi perché la posizione delle cifre che li compongono è differente. Ad esempio, la cifra 1, che in 123 è nella posizione più a sinistra, si trova al centro del numero 312.

Dunque, in generale, il valore attribuito alle varie cifre non dipende soltanto dalla specifica cifra considerata ma anche dalla posizione che essa occupa all’interno del numero. Il sistema di numerazione che solitamente usiamo è dunque un sistema posizionale. È chiamato decimale o a base dieci perché dieci unità di un determinato ordine sono rappresentate da un’unità di ordine superiore.

Definizione: Si definisce base di un sistema di numerazione il numero di simboli, cifre, usati per rappresentare i valori. La potenza della base indica il peso (la posizione) che i simboli hanno all’interno della scrittura del numero.


Riassumendo, abbiamo una serie di dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 che rappresentano il numero delle unità di un determinato ordine. Il significato dei simboli dipende anche dalla posizione che assumono nella “parola” che rappresenta un numero.

Ad esempio: , che scritto con le potenze di 10 diventa: .

L’esponente del peso attribuito ad ogni cifra che compone la scrittura di un numero rappresenta la posizione della cifra a partire da quella più a destra (0) cioè la meno significativa, quindi ne denota l’ordine di importanza.

Definizione: La scrittura di un numero come somma delle cifre moltiplicate per le potenze della base si chiama notazione polinomiale.


Una volta compreso il meccanismo su cui si basa il sistema di numerazione decimale, cioè a base 10, il procedimento si può estendere ad una base qualunque.

Se è la base di un sistema di numerazione, unità di un certo ordine vengono rappresentate da un’unità dell’ordine immediatamente superiore. In questo modo si può costruire un sistema di numerazione con qualsiasi base maggiore di 1.

Scrittura di un numero in una base qualsiasi[modifica]

Il procedimento usato per scrivere un numero in base 10 può essere usato per scrivere un numero in una base qualsiasi.

Esempio: Contare 29 oggetti in base 5.

Algebra1 05 fig002.svg

Utilizziamo un abaco, ma anziché contare per dieci contiamo per cinque. Invece di raggruppare per unità, decine, decine di decine (centinaia) e così via, conteremo raggruppando per unità, per cinquine, per cinquine di cinquine (venticinquine) e così via.

Il numero rappresentato nell’abaco si scrive e si legge “uno-zero-quattro in base cinque” per distinguerlo da centoquattro scritto in base 10, che sarebbe 104 ovvero .

Per ottenere il numero decimale che corrisponde al numero scritto in base 5 occorre sviluppare il numero in base 5 nella sua scrittura polinomiale:

.

Esempio: Contare 29 oggetti in base 3.

Algebra1 05 fig003.svg

Questa volta contiamo per tre. Il numero ottenuto si scrive e si legge “uno-zero-zero-due in base tre” per distinguerlo da milledue scritto in base 10.
Per ottenere il numero decimale corrispondente, occorre sviluppare il numero in base 3 nella sua scrittura polinomiale.

In accordo con la definizione [def:base], negli esempi abbiamo visto che i simboli che occorrono per scrivere un numero in base 10 sono dieci 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, quelli necessari per scrivere un numero in base 5 sono cinque 0, 1, 2, 3, 4, quelli necessari per scrivere un numero in base 3 sono tre 0, 1, 2. Analogamente, i simboli che serviranno per scrivere un numero in base 2 sono due 0, 1.

Possiamo scrivere i numeri anche in una base superiore a 10. Una base molto usata in informatica, insieme alla base 2, è la base esadecimale, cioè la base 16. In questo caso, per contare devo fare raggruppamenti di 16; sono perciò necessari 16 simboli per indicare questi raggruppamenti, che rappresentano i valori da 0 a 15. Pertanto occorrono dei simboli in più rispetto a quelli utilizzati dal sistema di numerazione decimale, che servono per rappresentare i valori 10, 11, 12, 13, 14, 15. Convenzionalmente si usano i simboli seguenti:

Quindi i numeri esadecimali, in ordine crescente, sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , , , , , 10, 11, 12, 13, 14 ,15, …

Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10[modifica]

Per scrivere un numero da una base diversa da 10 a base 10 bisogna svilupparlo nella sua forma polinomiale.

Se è un numero qualsiasi scritto nella base e se sono le cifre che compongono la sua rappresentazione, da quella più significativa (con peso ) a quella meno significativa (con peso ), avremo:

Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10[modifica]

Abbiamo visto che per contare e scrivere un numero in una base diversa da dieci, per esempio in base 3, dobbiamo raggruppare per 3. Raggruppare per 3 ha lo stesso significato che dividere per 3. Nella prima divisione per tre il quoziente indica quante terzine otteniamo, mentre il resto indica quante unità (di ordine 0) verranno considerate.

Algebra1 05 fig004.svg

Nel nostro esempio si ottengono terzine, mentre rimangono 2 unità (di ordine 0). Il 2 sarà il primo numero a destra che verrà considerato. Con 9 terzine si ottengono terzine di terzine (novine) con resto 0. Questo 0 diventa la cifra che scriviamo a sinistra del 2. Con 3 terzine di terzine otteniamo una terzina di terzina di terzina (ventisettina), mentre rimangono 0 terzine di terzine. Questo 0 diventa il numero che scriviamo a sinistra dello 0 precedente. Ora, dà come quoziente 0 (terzine di quarto ordine) con resto 1. Qui ci fermiamo e scriviamo 1 a sinistra dello 0 trovato precedentemente.

Il numero si compone da sinistra verso destra con le cifre dei vari resti nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti. Si ha così .

Controlliamo con la notazione polinomiale: .

Esempio: Convertire nel sistema binario (in base 2) il numero 59.

Algebra1 05 fig005.svg

Dividiamo successivamente 59 per 2 fino a che non otteniamo zero come quoziente e prendiamo come risultato della conversione la successione dei resti partendo dall’ultimo ottenuto. Il numero 59 scritto in base 2 sarà pertanto .

Verifichiamo con la scrittura polinomiale: .

Esempio: Trasforma da base 10 a base 3, 4 e 5.

Algebra1 05 fig006.svg

Un altro metodo per trasformare un numero decimale in un numero binario[modifica]

Per trasformare i numeri da base 10 a base 2 basta scrivere il numero come somma delle potenze del 2:

  1. si parte dalla potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero da convertire;
  2. si vede se la potenza precedente di ordine inferiore può fare parte della sequenza, cioè se la somma tra le potenze non diventa più grande del numero. Se può farne parte allora si scrive 1, altrimenti 0;
  3. si prosegue in questo modo fino ad arrivare a ;
  4. la sequenza di 1 e 0 nell’ordine ottenute sono le cifre che, da sinistra verso destra, rappresentano il numero binario corrispondente.

Esempio: Consideriamo ancora il numero 59 e convertiamolo in base 2:

  • qual è la potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero 59? È 32, cioè . Quindi fa parte del numero binario. Scrivo 1 come primo numero della sequenza;
  • vediamo ora . Anche 16 può far parte del numero binario perché che è minore di 59. Segno 1 come secondo numero della sequenza;
  • per lo stesso ragionamento anche fa parte del numero binario. Infatti è minore di 59. Segno ancora 1 come terzo numero della sequenza;
  • invece non può farne parte perché è maggiore di 59. Segno 0 come quarto numero della sequenza;
  • e vanno bene e si arriva al totale voluto 59. Segno 1 come quinto e 1 come sesto numero della sequenza.
Riassumendo: .

Conversione di un numero da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10[modifica]

Esempio: Scrivere il numero in base 7.
Per scrivere un numero da una base a una base entrambe diverse da 10 occorre:

  1. trasformare il numero in base in un numero decimale attraverso la sua scrittura polinomiale;

    ;

  2. trasformare il numero decimale nella base attraverso i resti delle divisioni successive per presi nell’ordine opposto a quello nel quale sono stati ottenuti.

    Algebra1 05 fig007.svg

Le trasformazioni eseguite sono: .

Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2[modifica]

Consideriamo il numero scritto in base 2 vogliamo scriverlo in base 4, in base 8, in base 16 senza passare dalla sua scrittura in base 10. Vogliamo scriverlo in base 4, in base 8, in base 16 senza passare dalla sua scrittura in base 10. Notiamo che gruppi di due cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 4, gruppi di 3 cifre in base 2 rappresentano tutte le cifre della base 8 e gruppi di 4 cifre nella base 2 rappresentano tutte le cifre della base 16, come indicato nella seguente tabella.

Base 10 Base 2 Base 4 Base 8 Base 16
0 0 00 = 0 000 = 0 0000 = 0
1 1 01 = 1 001 = 1 0001 = 1
2 10 = 2 010 = 2 0010 = 2
3 11 = 3 011 = 3 0011 = 3
4 100 = 4 0100 = 4
5 101 = 5 0101 = 5
6 110 = 6 0110 = 6
7 111 = 7 0111 = 7
8 1000 = 8
9 1001 = 9
10 1010 = A
11 1011 = B
12 1100 = C
13 1101 = D
14 1110 = E
15 1111 = F

Da base 2 a base 4[modifica]

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di due cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 4.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1
Numero scritto in base 4 3 1 0 3 2 1 1

Convertire il numero da base 2 a base 8[modifica]

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di tre cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 8.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1
Numero scritto in base 8 3 2 3 4 5

Convertire il numero da base 2 a base 16[modifica]

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di quattro cifre, partendo da destra, e tradurre il valore di ogni singolo gruppo con la corrispondente cifra in base 16.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1
Numero scritto in base 16 3 4 E 5

Perché è importante la base 2?[modifica]

Tutti gli strumenti elettronici che utilizziamo hanno bisogno di tradurre le informazioni che inseriamo in stati fisici della macchina. Dal punto di vista tecnico oggi usiamo dispositivi elettrici, magnetici, ottici che sono bistabili, ossia assumono due stati fisici differenti e il metodo più semplice e più efficiente per tradurre in “linguaggio macchina” le nostre informazioni è utilizzare la base 2: composta solo dai simboli 0 e 1. La base due è quindi l’alfabeto a disposizione delle macchine per comprendere e rispondere alle nostre richieste. Se si utilizzasse la base 10 dovremo far riconoscere dall’apparato dieci differenti simboli che dovrebbero essere tradotti in altrettanti stati differenti di dispositivi fisici.

A partire da questa informazione elementare detta bit (compressione dall’inglese di binary digit) è possibile costruire informazioni più complesse sotto forma di sequenze finite di zero e di uno. Attraverso la codifica binaria si è in grado di rappresentare caratteri, numeri, istruzioni di programmi ma anche immagini, suoni e video. Tutte le informazioni gestite da un computer sono quindi numeri in forma binaria.

Il primo multiplo del bit è il byte che è formato da una sequenza di 8 bit:

Algebra1 05 fig008.svg

Con una sequenza di 8 bit possiamo codificare fino a 256 caratteri attraverso il codice ASCII[1]. Quando digitiamo un carattere nella tastiera del calcolatore mandiamo un impulso che è una sequenza di 8 bit. Vediamo alcuni esempi della codifica binaria dei caratteri.

Carattere In base 2 Numero decimale
A 0 1 0 0 0 0 0 1 65
a 0 1 1 0 0 0 0 1 97
M 0 1 0 0 1 1 0 1 77
m 0 1 1 0 1 1 0 1 109
0 0 0 1 1 0 0 0 0 48
1 0 0 1 1 0 0 0 1 49
à 1 0 1 0 0 0 0 0 160
ò 1 0 1 0 0 0 1 0 162

Anche il byte ha i suoi multipli. Eccone alcuni indicati nella seguente tabella.

Sistema internazionale
Nome Simbolo Potenza di 10 Valore decimale rispetto al byte
byte B 1
kilobyte kB 1.000
megabyte MB 1.000.000
gigabyte GB 1.000.000.000
terabyte TB 1.000.000.000.000
petabyte PB 1.000.000.000.000.000
exabyte EB 1.000.000.000.000.000.000
zettabyte ZB 1.000.000.000.000.000.000.000
yottabyte YB 1.000.000.000.000.000.000.000.000
Utilizzo in informatica
Nome Simbolo Potenza di 2 Valore decimale rispetto al byte
byte B 1
kibibyte KiB 1.024
mebibyte MiB 1.048.576
gibibyte GiB 1.073.741.824
tebibyte TiB 1.099.511.627.776
pebibyte PiB 1.125.899.906.842.624
exbibyte EiB 1.152.921.504.606.846.976
zebibyte ZiB 1.180.591.620.717.411.303.424
yobibyte YiB 1.208.925.819.614.629.174.706.176

Osservazione: È noto che i prefissi kilo-, mega- e giga- corrispondono a , (un milione) e (un miliardo), mentre nell’informatica vengono impropriamente usati per indicare particolari potenze di 2 (kibi-, mebi- e gibi-). Tutto questo genera confusione e i produttori giocano su questa differenza, facendo i conti con i multipli decimali, “imbrogliando”. Un PC che viene dichiarato, ad esempio, con un hard disk da ha a disposizione byte che risultano essere . Ma il PC gestisce i multipli binari, ovvero i , e quindi mostra all’utente un disco da . Ecco che ci siamo “persi” circa .


Operazioni in base diversa da dieci[modifica]

Le quattro operazioni con i numeri in base diversa da dieci possono effettuarsi con gli stessi algoritmi utilizzati per i numeri naturali.

Addizione[modifica]

Esempio: Eseguire l’addizione in base 2 tra e .
Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci. Abbiamo perciò bisogno di costruire la tavola di addizione in base due che riportiamo a lato. La tavola, o tabellina, è piuttosto semplice, bisogna solo fare attenzione che in base due si ha , perché in base due il 2 si scrive appunto 10.

Algebra1 05 fig009.svg

Mettiamo i numeri in colonna e cominciamo ad addizionare a partire dalle unità: , scrivo e riporto . Nella colonna di ordine superiore troviamo , scrivo e riporto . Nella colonna di ordine superiore troviamo , scrivo senza riportare alcunché. Continuo in questo modo fino ad esaurire tutte le cifre da addizionare.

Facciamo la verifica nel sistema decimale:

Esempio: Eseguire la somma in base 5 tra e .
Costruiamo la tavola di addizione in base cinque: ricordiamo che , , ecc.
Mettiamo i numeri in colonna e cominciamo ad addizionare a partire dalle unità: , scrivo senza riporto. Nella colonna di ordine superiore troviamo . Scrivo e riporto . Nella colonna di ordine superiore troviamo scrivo e riporto . Procedendo verso sinistra ora troviamo scrivo e riporto . Infine . L’addizione è terminata.

Algebra1 05 fig010.svg

Verifica nel sistema decimale:

Sottrazione[modifica]

Per la sottrazione ci possiamo servire delle stesse tabelle dell’addizione.

Esempio:

Algebra1 05 fig014.svg

Mettiamo i numeri in colonna e cominciamo a sottrarre partendo dalle unità: scrivo . Nella colonna di ordine superiore troviamo di nuovo scrivo . Procedendo verso sinistra troviamo devo quindi prendere in prestito un'unità di ordine superiore che messa davanti a 0 diviene . Scrivo e riporto . Mi sposto ancora a sinistra e trovo . Occorre prendere in prestito un’unità di ordine superiore . Scrivo e riporto . Nella colonna a sinistra ho del minuendo, del riporto e del sottraendo. Occorre prendere a prestito un’unità di ordine superiore quindi a cui devo togliere del sottraendo: . Infine nella unità di ordine superiore devo addizionare il riporto a e scrivo ancora . Il risultato della sottrazione è: Verifica nel sistema decimale:

Esempio:
Ci serviamo della tavola di addizione in base cinque.

Algebra1 05 fig015.svg

Verifica nel sistema decimale:

Moltiplicazione[modifica]

Adoperiamo lo stesso algoritmo usato per moltiplicare due numeri decimali utilizzando la tabella della moltiplicazione.

Esempio:
Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci. Abbiamo perciò bisogno di costruire la tavola della moltiplicazione in base due.

Algebra1 05 fig019.svg

Verifica nel sistema decimale:

Esempio: .
In questo caso abbiamo bisogno di costruire la tavola della moltiplicazione in base cinque.

Algebra1 05 fig020.svg

Verifica nel sistema decimale:

Divisione[modifica]

Anche per la divisione il procedimento è del tutto analogo a quello usato nel sistema decimale, la tavola da utilizzare è quella della moltiplicazione.

Esempio:

Algebra1 05 fig021.svg

La cifra di ordine più alto si ottiene dalla divisione di con . Il quoziente è , il resto si ottiene dalla differenza tra il dividendo e il prodotto del quoziente per il divisore. In questo caso il resto è .

Si abbassa lo e otteniamo . Si ha . La seconda cifra del divisore è .

La moltiplicazione di per il divisore dà . Il nuovo resto è .

Si abbassa l’1 e otteniamo che viene diviso per . Il quoziente è ed il resto è uguale a .

Dai calcoli risulta quindi: con resto .

Verifica nel sistema decimale:

Eseguiamo la riprova della divisione in base 2:

Algebra1 05 fig022.svg

Il quoziente moltiplicato per il divisore è uguale a . Se a questo risultato aggiungiamo il resto otteniamo il dividendo . Quindi i calcoli effettuati sono corretti.

Esempio: .

Algebra1 05 fig023.svg

Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci.

Il nel non ci sta. Prendiamo allora tre cifre . Il nel ci sta volte, quindi è la cifra di ordine più alto del quoziente. Dobbiamo trovare il resto. Il resto si ottiene sottraendo il risultato della moltiplicazione tra e che è . Il resto è uguale . Si abbassa il e otteniamo . Il nel ci sta una sola volta, infatti . La seconda cifra del divisore è . La moltiplicazione di per il divisore dà . Sottraendo da si ottiene . Dato che è minore di la divisione intera è terminata.

Dunque con resto .

Verifica nel sistema decimale:

Esercizi del capitolo[modifica]

| Dimensioni: 197 KB}}

  1. Acronimo di American Standard Code for Information Interchange.