Algebra 1/Calcolo Letterale/Monomi

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L’insieme dei monomi[modifica]

Definizione: Un’espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio.


Esempio: L’espressione nelle due variabili e , è un monomio perché numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione.

Esempio: L’espressione non è un monomio poiché compare anche il segno di sottrazione.

Osservazione: Gli elementi di un monomio sono fattori, perché sono termini di una moltiplicazione ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari. In un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.


Definizione: Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse.


Esempio: Il monomio non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori vi sono numeri diversi e le potenze letterali hanno basi ripetute, la e la compaiono due volte ciascuna. Moltiplichiamo tra loro i fattori numerici e otteniamo ; eseguiamo il prodotto di potenze con la stessa base otteniamo . Il monomio in forma normale è .

Procedura: Ridurre in forma normale un monomio:

  1. moltiplicare tra loro i fattori numerici;
  2. moltiplicare le potenze con la stessa base.


Definizione: La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiama coefficiente e il complesso delle lettere ne costituisce la parte letterale.


Esempio: Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi con i rispettivi coefficienti e parti letterali.
monomio
coefficiente
parte letterale

Definizione: Se il coefficiente del monomio è zero il monomio si dice nullo.


Esempio: L’espressione letterale è un monomio; il numero e le lettere , , sono legate dall’operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero e la parte letterale è .

Esempio: Controesempi:

  1. l’espressione letterale non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati, oltre che dalla moltiplicazione, anche dall’addizione;
  2. l’espressione letterale non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo rappresenta una divisione, infatti .

Definizione: Due o più monomi che hanno parte letterale identica si dicono simili.


Esempio: Il monomio è simile a e anche a , ma non è simile a . L’ultimo monomio ha le stesse lettere degli altri ma sono elevate ad esponenti diversi.

Osservazione: Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio.


Definizione: Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomi opposti.


Esempio: I monomi e sono opposti, infatti sono simili e hanno coefficienti opposti.

Esempio: Non sono opposti e ma semplicemente simili. I loro coefficienti hanno segno diverso, ma non sono numeri opposti.

Definizione: Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il grado del monomio rispetto a quella variabile.
Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale.


Esempio: Il monomio ha grado complessivo 6, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale . Rispetto alla variabile è di terzo grado, rispetto alla variabile è di primo grado, rispetto alla variabile è di secondo grado.

Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali, dunque possiamo anche avere una o più variabili elevate ad esponente 0. Cosa succede allora nel monomio?

Consideriamo il monomio , sappiamo che qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1, quindi possiamo sostituire la variabile che ha esponente 0 con 1 e otteniamo . Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomio rimane solamente con il suo coefficiente numerico: per esempio .

Osservazione: Esistono monomi di grado 0; essi presentano solo il coefficiente e pertanto sono equiparabili ai numeri razionali.


Valore di un monomio[modifica]

Poiché il monomio è un’espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando alle sue variabili sostituiamo dei numeri.

Esempio: Calcola il valore del monomio per i valori , e . Sostituendo i valori assegnati otteniamo essendo uno dei fattori nullo.

Osservazione: Il valore di un monomio è nullo quando almeno una delle sue variabili assume il valore 0.


Molte formule di geometria sono scritte sotto forma di monomi: area del triangolo , area del quadrato , perimetro del quadrato , area del rettangolo , volume del cubo , ecc. Esse acquistano un valore quando alle lettere sostituiamo i numeri che rappresentano le misure della figura considerata.

Moltiplicazione di due monomi[modifica]

Ci proponiamo ora di introdurre nell’insieme dei monomi le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza e divisione.

Ricordiamo che definire un’operazione all’interno di un insieme significa stabilire una legge che associa a due elementi dell’insieme un altro elemento dell’insieme stesso.

La moltiplicazione di due monomi si indica con lo stesso simbolo della moltiplicazione tra numeri; i suoi termini si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, proprio come negli insiemi numerici.

Definizione: Il prodotto di due monomi è il monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori.


Esempio: Assegnati i monomi e , il monomio prodotto è

Procedura: per moltiplicare due monomi.&npsp; La moltiplicazione tra monomi si effettua moltiplicando prima i coefficienti numerici e dopo le parti letterali:

  1. nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numeri razionali;
  2. nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base.


Proprietà della moltiplicazione[modifica]

  1. commutativa:  ;
  2. associativa:  ;
  3. 1 è l’elemento neutro:  ;
  4. annullamento del prodotto:  se uno dei fattori è uguale a 0 il prodotto è 0, cioè .

Potenza di un monomio[modifica]

Ricordiamo che tra i numeri l’operazione di elevamento a potenza ha un solo termine, la base, sulla quale si agisce a seconda dell’esponente.

Analogamente viene indicata la potenza di un monomio: la base è un monomio e l’esponente è un numero naturale.

Definizione: La potenza di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale.


Esempio: Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomio .

Esempio: Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomio .

Procedura: Eseguire l’elevazione a potenza di un monomio:

  1. applichiamo la proprietà relativa alla potenza di un prodotto, eseguiamo cioè la potenza di ogni singolo fattore del monomio;
  2. applichiamo la proprietà relativa alla potenza di potenza, moltiplicando l’esponente della variabile per l’esponente delle potenza.


Divisione di due monomi[modifica]

Premessa:  ricordiamo che assegnati due numeri razionali e con , eseguire la divisione significa determinare il numero che moltiplicato per . Nell’insieme la condizione è sufficiente per affermare che esiste ed è un numero razionale.

Definizione: Assegnati due monomi e con diverso dal monomio nullo, se è possibile determinare il monomio tale che , si dice che è divisibile per e è il monomio quoziente.


Esempio: .
Per quanto detto sopra, vogliamo trovare, se esiste, il monomio tale che e ripensando alla moltiplicazione di monomi possiamo dire che . Infatti . Il monomio è quindi il quoziente della divisione assegnata.

Procedura: Calcolare il quoziente di due monomi.emsp; Il quoziente di due monomi è così composto:

  1. il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati;
  2. la parte letterale ha gli esponenti ottenuti sottraendo gli esponenti delle stesse variabili;
  3. se la potenza di alcune lettere risulta negativa il risultato della divisione non è un monomio.


Esempio: .
Seguiamo i passi descritti sopra

Nell’eseguire la divisione non abbiamo tenuto conto della condizione che il divisore deve essere diverso dal monomio nullo; questa condizione ci obbliga a stabilire per la divisione le Condizioni di Esistenza, .

Esempio: .
La , il quoziente è

Osserviamo che il quoziente ottenuto non è un monomio perché l’esponente della variabile è negativo. Il risultato è un’espressione frazionaria o fratta.

In conclusione, l’operazione di divisione tra due monomi ha come risultato un monomio se ogni variabile del dividendo ha esponente maggiore o uguale all’esponente con cui compare nel divisore.

Addizione di due monomi[modifica]

L’addizione di due monomi si indica con lo stesso simbolo dell’addizione tra numeri; i suoi termini si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

Addizione di due monomi simili[modifica]

La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi e avente come coefficiente la somma dei coefficienti.

Esempio: Calcoliamo .
I due addendi sono monomi simili dunque la somma è ancora un monomio ed è simile ai singoli addendi. Precisamente .
Osserva che la somma di monomi simili si riduce alla somma algebrica di numeri.

Proprietà della addizione[modifica]

  1. commutativa:  ;
  2. associativa:  ;
  3. 0 è l’elemento neutro:  ;
  4. elemento inverso: per ogni monomio m esiste il monomio opposto, cioè un monomio tale che

L’ultima proprietà enunciata ci permette di definire nell’insieme dei monomi simili anche la sottrazione di monomi. Essa si indica con lo stesso segno della sottrazione tra numeri e il suo risultato si chiama differenza.

Osservazione: Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l’opposto del secondo.


Esempio: Assegnati , determina .
L’operazione richiesta diventa .

Sulla base di quanto detto, possiamo unificare le due operazioni di addizione e sottrazione di monomi simili in un’unica operazione che chiamiamo somma algebrica di monomi.

Osservazione: La somma algebrica di due monomi simili è un monomio simile agli addendi avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.


Esempio: Determiniamo la somma .
Osserviamo che tutti gli addendi sono tra loro simili dunque:

Addizione di monomi non simili[modifica]

Analizziamo il caso della seguente addizione: . Si vuole determinare la somma. I monomi addendi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo.

Le proprietà associativa e commutativa ci consentono di riscrivere l’addizione precedente “avvicinando” i monomi simili e sostituendo ad essi la loro somma:

L’espressione così ottenuta è la somma richiesta.

Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dell’addizione assegnata viene chiamato riduzione dei termini simili.

In conclusione, l’operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili; in caso contrario la somma viene effettuata riducendo i monomi simili e lasciando indicata l’addizione tra gli altri monomi.

Esempio: Calcola la seguente somma: .
Il risultato è un monomio poiché gli addendi sono monomi simili, precisamente .

Esempio: Calcola la seguente somma: .
Il risultato non è un monomio poiché gli addendi non sono monomi simili: .

Espressioni con i monomi[modifica]

Consideriamo l’espressione letterale .

Vediamo che è in due variabili, le variabili sono infatti e . Inoltre, i termini delle operazioni che vi compaiono sono monomi.

Se volessimo calcolare il valore di per e dovremmo sostituire nell’espressione tali valori e risolvere l’espressione numerica che ne risulta. Inoltre se dovessimo calcolare il valore di per altre coppie dovremmo ogni volta applicare questo procedimento.

Dal momento che abbiamo studiato come eseguire le operazioni razionali con i monomi, prima di sostituire i numeri alle lettere, applichiamo le regole del calcolo letterale in modo da ridurre , se possibile, in un’espressione più semplice.

Prima di procedere, essendovi una divisione, poniamo innanzi tutto la e ed eseguiamo rispettando la precedenza delle operazioni come facciamo nelle espressioni numeriche.

Esempio: Calcola per e .

Ora è più semplice calcolarne il valore per e :

.

Esempio: Riduci l’espressione .

Esempio: Riduci l’espressione .

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi[modifica]

Massimo Comune Divisore[modifica]

Il calcolo del minimo comune multiplo e del Massimo Comune Divisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi. Premettiamo intanto le seguenti definizioni.

Definizione: Un monomio si dice multiplo di un monomio se esiste un monomio per il quale si ha ; in questo caso diremo anche che è divisore del monomio .


Definizione: Il massimo comune divisore () tra due o più monomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo.


Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro , se non sono interi è opportuno scegliere 1.

Esempio: Dati i monomi e sono divisori comuni:

Il monomio di grado massimo è , il tra i coefficienti è 4. Pertanto il dei monomi è .

Procedura: Calcolare il tra monomi.  Il di un gruppo di monomi è il monomio che ha:

  1. per coefficiente numerico il dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende 1;
  2. la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente minore con cui compare.


Esempio: Calcolare il .
Per prima cosa calcoliamo il tra i coefficienti numerici 14, 4 e 8 che è 2. Per ottenere la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l’esponente minore con cui compare: .
In definitiva, quindi, il .

Esempio: Calcolare il massimo comune divisore tra , e .
Si osservi che i coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi quindi si prende 1 come coefficiente del . Le lettere in comune sono , e . Prese ciascuna con l’esponente minore con cui compaiono si ha .
Quindi, il .

Osservazione: La scelta di porre uguale a 1 il coefficiente numerico del , nel caso in cui i monomi abbiano coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione divide tutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del . Ad essere più precisi, occorrerebbe, quando si parla di monomi e polinomi, chiarire a quale degli insiemi numerici , , e appartengono i loro coefficienti. Qui stiamo considerando coefficienti numerici in .


Definizione: Due monomi si dicono monomi primi tra loro se il loro è 1.


Minimo comune multiplo[modifica]

Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo.

Definizione: Il minimo comune multiplo () di due o più monomi è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore.


Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro , se non lo sono è opportuno scegliere 1.

Esempio: Per calcolare il minimo comune multiplo tra e dovremmo costruire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numerico positivo più piccolo e grado minore:

Il minimo comune multiplo è .

In realtà, applicando la definizione è poco pratico calcolare il , è utile invece la seguente procedura.

Procedura: Calcolo del tra due o più monomi.   Il di un gruppo di monomi è il monomio che ha:

  1. per coefficiente numerico il dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende 1;
  2. la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente maggiore con cui compare.


Esempio: Calcola il minimo comune multiplo tra , e .
Il tra i coefficienti 5, 12, 10 è 60. Per ottenere la parte letterale osservo il grado maggiore delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni, una sola volta con il grado maggiore con cui ciascuna compare: .
In definitiva, il .

Esempio: Calcola il .
I coefficienti numerici dei monomi non sono interi, quindi il avrà come coefficiente 1.
La parte letterale si costruisce mettendo insieme tutte le lettere che compaiono (, , ), ciascuna presa con l’esponente massimo, quindi .
In definitiva .

Assegnati due monomi, per esempio e , calcoliamo e .

  • ;
  • .

Moltiplichiamo ora e . Abbiamo: Moltiplichiamo ora i monomi assegnati. Abbiamo: Il prodotto dei due monomi è uguale al prodotto tra il e il . Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale.

Proprietà: Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi.


Esercizi del capitolo[modifica]