Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari

Definizione

Siano $V$ e $W$ $𝕂$-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali che prendono il nome di applicazioni lineari.

Definizione

Si dice applicazione lineare da $V$ a $W$ un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

• $f(v+v^{\prime })=f(v)+f(v^{\prime }),\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in V$
• $f(\lambda v)=\lambda f(v),\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕂$

Nucleo ed immagine

• Nucleo: denotato con Ker f = insieme di vettori che l'applicazione lineare riduce al vettore nullo.
• Immagine: Un vettore k' è nell'immagine se esiste un k tale che f(k) = k'.

Rango

Sia F: V -> W un omomorfismo tra K-spazi vettoriali, si definisce il rango di f e si denota rg(F), rk(F) o rank(F):

rg(F)=dim(Im(F))

Teoremi

• data f: V -> W lineare con V,W K-spazi vettoriali si ha: dim Ker f + dim Im f = dim V
• se f lineare è iniettiva allora trasforma basi in basi
• Il Ker f = {O} se e solo se f è iniettiva.