Algebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni

In matematica, una dimostrazione consiste nell'assumere determinate proposizioni (ipotesi) e nell'eseguire operazioni logiche su di esse fino ad arrivare a verificare che la verità di altre proposizioni (tesi) è legata alla verità delle ipotesi.
In pratica, se si assumono $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ (con $n\in \mathbb {N}$) vere per ipotesi e si vuole dimostrare che anche $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{m}$ (con $m\in \mathbb {N}$) sono vere; allora, basta manipolare le proposizioni $p_{i}$ con operazioni logiche fino a giungere alle $q_{i}$.

Ipotesi e tesi

Ovviamente, la verità della tesi è legata alla verità delle ipotesi: se in un altro contesto si verificasse che le ipotesi non sono verificate, allora la tesi potrebbe non essere verificata.

Il quinto postulato di Euclide

Un esempio piuttosto importante si riferisce al Quinto Postulato di Euclide: esso afferma che, data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data (la forma originale era un po' diversa, ma in sostanza questa forma è equivalente a quella). Euclide denominò questa proposizione postulato non tanto per la sua banalità (la definizione di postulato sarà data nel seguito), ma perché gli risultò impossibile (e risultò impossibile anche ai suoi successori) dimostrarne la verità partendo dai precedenti postulati assunti: in pratica, pur mettendoci tutta la sua buona volontà, Euclide non riuscì a dimostrare la verità di questa affermazione, che però non sembrava essere contraddetta nella realtà. Per questo motivo, in buona fede, decidette di darla per buona e di inserirla tra i postulati.

Da questo quinto postulato deriva, per esempio, l'affermazione che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180° (basta considerare uno dei tre angoli esterni, dividerlo secondo le parallele ai lati e mostrare l'equivalenza tra gli angoli ottenuti e gli angoli interni, sfruttando appunto il Quinto Postulato).

Consideriamo ora una sfera: sulla sfera, la retta (per definizione) è una circonferenza massima: questa è l'idea che permette di definire le rotte degli aerei. In questo modo, si osserva, abbastanza intuitivamente, che non è verificato il Quinto Postulato (date due rette distinte, esse si incontreranno in un punto (vale la pena di osservare che per punto su una sfera si intende una coppia di punti)); quindi quanto affermato sulla somma degli angoli interni di un triangolo non sarà necessariamente vero (dimostrando l'equivalenza tra ipotesi e tesi, potremmo dimostrare che effettivamente è falso): infatti, un triangolo sarà costituito da lati "curvi" (le virgolette stanno ad indicare che il termine "curvi" va inteso solo in senso intuitivo, per raffigurarsi mentalmente il triangolo; in realtà, i lati saranno, come segmenti, parte di rette, e l'idea di "dritto" o "curvo" non è stata definita), e, come si può verificare, la somma degli angoli interni sarà maggiore di 180°.

Una cosa analogo si potrebbe fare con un iperboloide, e in questo caso otterremmo sia che non vale il Quinto Postulato (in questo caso però esso viene negato nell'unicità della parallela: nel senso che data una retta e un punto esterno ad essa, esistono (almeno) due rette passanti per il punto e parallele alla retta iniziale (l'"almeno" si riferisce alla diversità di definizione di parallele)), sia che la somma degli angoli interni è minore di $180^{\circ }$. Praticamente, si sono costruite in questo modo due nuove geometrie, semplicemente sostituendo al Quinto Postulato di Euclide altre proposizioni: a seconda di quale delle tre forme si assume vera (ovviamente, ci saranno contesti in cui è preferibile assumere vera una di esse, e contesti in cui è preferibile usarne un'altra), si ottengono teoremi completamente diversi.

L'uso di modelli

In definitiva, la matematica appare proprio in questo una scienza astratta, che non definisce né studia la realtà (questo lo farà la Fisica), ma costruisce dei modelli.

La matematica, quindi, tende a costruire delle Teorie, cioè insieme di teoremi e proprietà, partendo da determinati Postulati e Assiomi, assunte indipendentemente da tutto veri. Dimostrare un teorema vuol dire dimostrare la verità di determinate affermazioni utilizzando solo le regole logiche definite, e gli assiomi e le ipotesi di partenza, facendo eventualmente uso di teoremi precedentemente dimostrati.

Non è possibile, ovviamente, definire tecniche di dimostrazione universalmente valide. Valgono però determinate osservazioni che possono aiutare nella soluzione di un problema o nella dimostrazione di un teorema.

Euristica

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Tecniche di Dimostrazione

Dimostrazione per Assurdo

La dimostrazione per assurdo è una tecnica che si basa sull'equivalenza logica delle due forme

$(p\rightarrow q)\Leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)$

In pratica, per dimostrare che se $p$ è vera allora è vera anche $q$, dimostro che se $q$ è falsa è falsa anche $p$ (questa equivalenza logica si dimostra facendo uso della definizione di "$\rightarrow$" in funzione dei connettivi logici elementari, e dimostrando (per esempio tramite le tavole di verità) che le due forme sono equivalenti (cioè, se è vero che $p\rightarrow q$ allora è vero che $\neg q\rightarrow \neg p$, e se è falso che $p\rightarrow q$ allora è falso che $\neg q\rightarrow \neg p$).

Un esempio potrebbe essere dimostrare che ${\sqrt {2}}$ è irrazionale.
Supponiamo, per assurdo, che sia razionale, allora esistono $m$ e $n$ interi coprimi, tali che

${\sqrt {2}}={m \over n}$

(il fatto che siano coprimi deriva dalla possibilità di scrivere ogni frazione "in forma ridotta"); eleviamo al quadrato: otteniamo che

$2={m^{2} \over n^{2}}$

ovvero che

$m^{2}=2\cdot n^{2}$

ma allora $m^{2}$ è pari, e anche $m$ sarà pari (se il quadrato di un numero è pari, anche il numero di cui è quadrato è pari: ogni quadrato contiene, nella sua fattorizzazione, ogni esponente pari); quindi possiamo scrivere $m=2h$ e, sostituendo a $m^{2}$ il termine $(2h)^{2}=4h^{2}$ otteniamo che $4h^{2}=2n^{2}$ ovvero che $n^{2}=2h^{2}$ (siamo nel campo $\mathbb {Q}$, quindi possiamo dividere entrambi i membri per $2$).

Ma da questo otteniamo che anche $n^{2}$ è pari, e quindi anche $n$ è pari, ma allora $m$ e $n$ non sono coprimi come avevamo ipotizzato, e quindi ${\sqrt {2}}$ è irrazionale (non potendosi scrivere come ${m \over n}$ per opportuni $m,n\in \mathbb {Z}$ coprimi).

Induzione

Un altro procedimento molto usato per dimostrare una proposizione fa uso del principio di induzione (completa o trascendente).

Il principio di induzione completa può essere espresso in più forme, ora useremo questa: intanto, consideriamo un predicato (cioè, una proposizione contenente una variabile, la cui verità è legata al valore assunto dalla variabile) ${\mathcal {P}}(m)$, con $m$ che varia in $\mathbb {N}$, allora vale che

"se ${\mathcal {P}}(0)$ è vera (passo base), e se, per ogni $n\in \mathbb {N}$, assunta vera ${\mathcal {P}}(n)$ (ipotesi induttiva) allora è vera anche ${\mathcal {P}}(n+1)$ (passo induttivo), allora ${\mathcal {P}}(m)$ è vera per ogni intero naturale $n$".

Praticamente, il fatto che ${\mathcal {P}}(0)$ sia vera insieme al fatto che

$\forall n\in \mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(n)\rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)$

ci assicura che anche ${\mathcal {P}}(1)$ sia vera (basta prendere $n=0$), quindi con lo stesso ragionamente anche ${\mathcal {P}}(2)$ sarà vera, quindi ${\mathcal {P}}(3)$, eccetera, arrivando a dimostrare che il predicato è vero per ogni valore della variabile. Ovviamente, entrambi i passi vanno dimostrati: esistono predicati induttivi (cioè, per cui è verificato il passo induttivo) che non sono però vere, o lo sono solo definitivamente (nel senso, si prova il passo base per un valore $m>0$: in questo caso, il predicato sarà vero per ogni $n\geq m$).

Un esempio classico è la dimostrazione che

$\forall n\in \mathbb {N} ,\;{\mathcal {S}}(n)=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+\cdots +n={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

(ovvero che la $n$-esima somma parziale della serie aritmetica di ragione $1$ è data dal rapporto ${\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}$)

Iniziamo a dimostrare la base:

${\mathcal {S}}(1)=1$ e ${\frac {1\cdot 2}{2}}=1$

quindi il caso base è verificato; passiamo ora al passo induttivo: assumiamo, per ipotesi induttiva, che

${\mathcal {S}}(n)={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

e calcoliamo

${\mathcal {S}}(n+1)$

${\mathcal {S}}(n+1)=1+2+\cdots +n={\mathcal {S}}(n)+(n+1)={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}+(n+1)=$
$={\frac {n\cdot (n+1)+2\cdot (n+1)}{2}}={\frac {(n+1)\cdot ((n+1)+1)}{2}}$

che è appunto uguale alla formula calcolata per $n+1$. Si dimostra così per induzione che ${\mathcal {S}}(n)={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$.

Principio dei cassetti

Il Principio dei cassetti è un principio piuttosto intuitivo, che afferma che se abbiamo $n+1$ oggetti da disporre in $n$ posti, ci sarà almeno un posto in cui andranno messi almeno due oggetti (questi oggetti possono essere, per esempio, piccioni da mettere in gabbie, da cui il nome inglese di pigeonhole, o calzini da mettere nei cassetti, da cui appunto il nome di principio dei cassetti). Ovviamente, anche in questo caso sono possibili generalizzazioni.

Può essere utile per gestire alcune situazioni: un esempio di dimostrazione semplice con il principio dei cassetti è per esempio la dimostrazione di questo problema: ci sono $n$ ragazzi che vanno sedersi ad un tavolo, e una volta accomodatisi si accorgono che erano stati posizionati dei sognaposto: parlando tra di loro, notano che nessuno ha avuto la fortuna di ritrovarsi al posto assegnatogli; dimostrare che è possibile ruotare il tavolo in modo che almeno due ragazzi si ritrovino davanti il cartellino col proprio nome: usando il principio dei cassetti, dove gli oggetti da posizione sono i cartellini da mettere davanti ai ragazzi col rispettivo nome, si vede che, delle $n$ possibili configurazioni, una non associa nessun nome al rispettivo ragazzo, perciò ce ne sarà almeno una che associa almeno due nomi e due ragazzi.