Algebra lineare e geometria analitica/Matrici

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Storia[modifica]

Il concetto di matrice, o semplicemente di "tabella di numeri" ha origini molto antiche, se intesa in senso lato, Con questo vogliamo dire che, fino a metà del 1800, non è mai stata formalizzata l'idea moderna di matrice, tuttavia si sono usati gli stessi metodi e le stesse espressioni che la descrivono implicitamente.

Citiamo come curiosità che un esempio antico di matrice può essere ricondotto fino a prima di Cristo, in un libro cinese denominato Jiuzhang suanshu (che si potrebbe tradurre come Nove capitoli sull'arte matematica). In quel testo l'autore analizza un problema che oggi formalizzeremo come un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ed estrapola i coefficienti di tali equazioni in una tabella, che non è nient'altro che una antica parente della matrice dei coefficienti.

L'esempio appena riportato non ha solo carattere nozionistico, ma mostra come il concetto e l'uso di matrici sia molto naturale nell'analisi di problemi, anche pratici, modellati con sistemi di equazioni lineari.

Matrici[modifica]

Definizione

Dati , , una matrice a coefficienti in è una tabella del seguente tipo:

con per e .

Righe e Colonne[modifica]

Data una matrice possiamo definire:

  • righe di : sono le seguenti matrici

  • colonne di : sono le seguenti matrici

Rappresentazione e componenti[modifica]

Possiamo rappresentare la matrice mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

Per indicare useremo anche la notazione

Infine per indicare la componente -esima di useremo la notazione . Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.

Esempio[modifica]

Sia

Allora è una matrice e le sue righe e colonne sono

Le componenti di sono:

Quindi può essere scritta come:

Insiemi di Matrici[modifica]

Definizione

Dati con indicheremo con l'insieme di tutte le matrici a coefficienti in , e con tutte le matrici a coefficienti in , ovvero:

Chiameremo le matrici di matrici quadrate.

Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se è un sistema lineare con equazioni e incognite, allora .

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che