Algebra lineare e geometria analitica/Matrici e sistemi

Il concetto di vettore, intuitivamente, è già stato assimilato nello studio del piano reale, e più in generale della geometria analitica. Anlizzeremo ora come il concetto più generale di matrice si sviluppa in modo naturale dallo studio dei sistemi lineari.

Storia

Il concetto di matrice, o semplicemente di "tabella di numeri" ha origini molto antiche, se intesa in senso lato. Con questo vogliamo dire che, fino a metà del 1800, non è mai stata formalizzata l'idea moderna di matrice, tuttavia si sono usati gli stessi metodi e le stesse espressioni che la descrivono implicitamente.

Citiamo come curisotià che un esempio antico di matrice può essere ricondotto fino a prima di Cristo, in un libro cinese denominato Jiuzhang suanshu (che si potrebbe tradurre come Nove capitoli sull'arte matematica). In quel testo l'autore analizza un problema che oggi formalizzeremo come un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ed estrapola i coefficienti di tali equazioni in una tabella, che non è nient'altro che una antica parente della matrice dei coefficienti.

L'esempio appena riportato non ha solo carattere nozionistico, ma mostra come il concetto e l'uso di matrici sia molto naturale nell'analisi di problemi, anche pratici, modellati con sistemi di equazioni lineari.

Analizzeremo ora cosa sia e come nasca il concetto di matrice partendo da alcune osservazioni sui sistemi lineari.

Matrice di un sistema lineare

Dato il sistema lineare ${\mathcal {L}}$

${\begin{cases}&a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&a_{2,1}x_{1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\&\qquad \vdots \\&a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}$

definiamo la matrice del sistema lineare la tabella

$M({\mathcal {L}})={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}&b_{n}\end{pmatrix}}$

Alla base della definizione vi sono due idee: la prima, che abbiamo già accennato nella precedente sezione, è che per risolvere il sistema lineare ${\mathcal {L}}$ non servono le incognite ma sono sufficienti i coefficienti e i termini noti. La seconda è che conviene dare a questi numeri reali la forma di una tabella rettangolare, suggerita dalla forma del sistema lineare.

Questa rappresentazione è la chiave di volta nella teoria dei sistemi lineari. Analizzeremo ora la generalizzazione di questo concetto.