Algebra lineare e geometria analitica/Matrici (esercizi)

Tracce

Prodotto tra matrici

1. Dire per quali delle seguenti coppie di matrici il prodotto $A\cdot B$ è commutativo, ossia uguale a $B\cdot A$:
   1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}}$
   2. $A={\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}2&7\\1&0\end{pmatrix}}$
   3. $A={\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}0&1\\1&-5\end{pmatrix}}$

Soluzioni

Prodotto tra matrici

1. Sono commutativi il primo e il terzo prodotto, perché equivalgono a una matrice identità. Il secondo no, quindi non è commutativo. Per iscritto:
   1. $A\cdot B={\begin{pmatrix}1\cdot 1+2\cdot 0&1\cdot \left(-2\right)+2\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot \left(-2\right)+1\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I\Rightarrow A\cdot B=B\cdot A$
   2. $A\cdot B={\begin{pmatrix}3\cdot 2+1\cdot 1&3\cdot 7+1\cdot 0\\2\cdot 2+5\cdot 1&2\cdot 7+5\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&21\\9&14\end{pmatrix}}\neq I$
   3. $A\cdot B={\begin{pmatrix}5\cdot 0+1\cdot 1&5\cdot 1+1\cdot \left(-5\right)\\1\cdot 0+0\cdot 1&1\cdot 1+0\cdot \left(-5\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I\Rightarrow A\cdot B=B\cdot A$