Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Calcolare Numericamente un Integrale

Integrazione Numerica

Questo simbolo $\int$ e' il simbolo di integrale, quando si scrive un integrale definito bisogna anche specificare due numeri $\int _{a}^{b}$, le due quantita' a e b che saranno sostituite da valori numerici esprimono l'intervallo di integrazione ( estremo inferiore e estremo superiore), dopo il simbolo di integrale viene scritta la funzione che deve essere integrata $\int _{a}^{b}f(x)$ e si aggiunge poi dx che e' un simbolo che indica rispetto a quale variabile si integra la funzione (nel nostro caso x) complessivamente si ha allora $\int _{a}^{b}f(x)dx$, se la funzione f dipende dal tempo allora l'integrale della f(t) assume la forma $\int _{a}^{b}f(t)dt$. Ora prendiamo una funzione f(x) particolare f(x) = 5sin(2x) + x^2, l'integrale proprio puo' assumere la seguente forma

$\int _{0}^{\pi }5sin(2x)+x^{2}\quad dx$

Qual è il significato dell'integrazione di una funzione f(x) nell'intervallo [a,b]

Concetto Integrale finito

essa corrisponde al valore dell'area sottesa alla funzione f(x) nell'intervallo [a,b], cioe' alla parte di area fra l'asse x e i valori assunti dalla f(x), questa area viene considerata positiva se sopra l'asse x e negativa se sotto l'asse x. Per calcolare numericamente l'area suddividiamo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza Δx = (b-a)/n e approssimiamo l'area (sottesa alla funzione f(x) )relativa a ciascun Δx con quella di un rettangolo di base Δx e altezza f( valore x punto iniziale rettangolo). Il primo rettangolo ha allora area1=Δx*f(a) il secondo area2= Δx*f(a+Δx) il terzo area3=Δx*f(a+2*Δx) e cosi' via.

calcolare numericamente un integrale finito scomponendolo in rettangoli

Otteniamo quindi che l'area complessiva vale $\sum _{i=0}^{n-1}\Delta x\cdot f(a+i\cdot \Delta x)$ Naturalmente l'area ottenuta' e' un valore approssimato dell'area complessiva. Questo metodo di integrazione viene detto integrazione per rettangoli Si poteva integrare numericamente anche suddividendi l'intervallo in n parti uguali e approssimando le aree di ciascun intervallo mediante un trapezio, con altezza Δx e nel caso del primo trapezio prima base f(a) e seconda base f(a+Δx), il secondo trapezio avrà invece altezza Δx, prima base f(a+Δx) e seconda base f(a+2*Δx) e l'area complessiva e' allora pari a $\sum _{i=0}^{n-1}(f(a+i\cdot \Delta x)+f(a+(i+1)\cdot \Delta x))\cdot \Delta x/2$ si vede che in questo caso (integrazione mediante trapezi) c'e' una migliore approssimazione rispetto a quella rettangolare,

Calcolo Integrale definito scomponendolo in trapezi

in entrambi i casi si tratta di un valore dell'area approssimato e con una precisione del calcolo maggiore se n e' grande (Δx piccolo)

Vediamo di scrivere il programma utilizzando octave che ci permette il calcolo. Naturalmente possiamo imporre una certa precisione p e imporre che il programma aumenti via via il numero n finche l'area complessiva calcolata nel passo k differisca da quella calcolata nel passo k-1 della quantita' p

Se la funzione f(x) esprime ad esempio la potenza consumata dagli elettrodomestici della nostra casa l'integrale di detta funzione calcolato fra 2 particolari ore ci permette di valutare l'energia consumata e quindi anche i costi. Se la funzione f(x) esprime l'accelerazione di una macchina possiamo calcolare mediante l'integrazione fra due istanti temporali la variazione della velocita' . Il metodo di suddividere l'area di una figura mediante figure geometriche ci permette di valutarne l'estensione e dall'intensita' della colorazione possiamo risalire alla concentrazione di una sostanza o al tipo della sostanza.

Si e' visto l'approssimazione all'interno di un singolo Δx, prima l'approssimazione della curva f(x) con un tratto orizzontale ( caso dei rettangoli) poi con una retta (caso del trapezio) ma possiamo usare anche una curva parabolica (espressa da una eq di 2 grado), in questo caso l'integrazione numerica avviene con la regola Cavalieri-Simpson

• con octave il comando quad(F,A,B) calcola l'integrale della funzione F nell'intervallo [A,B] con un errore minore a 1.e-6 usando il metodo ricorsivo di Simpson.
• mentre il comando quad(F,A,B,TOL) permette tramite il parametro TOL di specificare una nostra tolleranza